我们要证明，如果 \( f(z) \) 是一个全纯函数，那么 \( \overline{f(\overline{z})} \) 也是一个全纯函数。 定义和性质 首先，回顾一些定义和性质： 全纯函数（Holomorphic function）：函数 \( f(z) \) 在一个复变量 \( z \) 的区域 \( D \) 上全纯，如果在该区域内的每一点 \( z \) 上，函数 \( f(z) \) 都是可导的。这也意味着 \( f \) 满足Cauchy-Riema Read more

要证明 \( w = i \frac{z - z_0}{z_1 - z} \) 是实数，我们可以使用几何和代数方法结合来进行分析。 场景描述 设有一个圆，圆心为 \(\alpha\) ，且 \(z_0\) 和 \(z_1\) 是圆周上的两个点，它们形成一条直径。 圆周上的任意点 \(z\) 可以用参数形式表示为 \( z = \alpha + e^{i\theta}(z_0 - \alpha) \) ，其中 \(\theta \in [\theta_1, \theta_2]\) 。 几何背景 根据题意，\(z_0\) 和 \(z_1\) 是圆的直径的两端点。 由上一部分的结论，\(z Read more

对于一阶或可去极点的留数计算，留数的公式依赖于该极点的特性。以下是详细的解释： 1. 简单极点（一级极点）的留数 如果 \(z = a\) 是函数 \(f(z)\) 的一个简单极点（也称一级极点），那么在 \(z = a\) 处，\(f(z)\) 可以写成以下形式： \[ f(z) = \frac{g(z)}{z - a} \] 其中 \(g(z)\) 在 \(z = a\) 处解析且非零。 在这种情况下，\(f(z)\) 在 \(z = a\) 处的留数可以通 Read more

用留数定理来计算 \(\int_0^\infty \frac{dx}{1 + x^2}\) 的值 首先，我们将实数积分扩展到复平面，并考虑以下复积分： \[ I = \int_{-\infty}^\infty \frac{dz}{1 + z^2} \] 这个积分与我们要求的积分有直接关系，因为： \[ \int_0^\infty \frac{dx}{1 + x^2} = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{1 + x^2} \] 步骤1：构造闭合路径 我们可以考虑一个半圆形的闭合路径 \(C\) ，由以下部分组成： 实轴上的线段，从 \(-R\) 到 \(R\) 半径为 \(R\) 的上半圆弧，中心在原点，沿逆时针方向 Read more

用留数定理来计算 \(\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{5 + 4 \cos \theta}\) 为此，我们需要将积分转化为复平面的积分，并利用复变函数理论。我们将使用复平面上的变量 \( z = e^{i\theta} \) ，从而将积分从 \(\theta\) 的积分转化为 \(z\) 的积分。 步骤1：用复数表示 \(\cos \theta\) 我们知道 \( \cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \) 。因此，我们可以将积分改写为： \[ \cos \theta = \frac{z + \frac{1}{z}}{2} \] 其中 \( z = e^{i\theta} \) ，所以 \( dz = ie^{i\theta} d\theta = iz d\theta \) 。那么 \( d\theta Read more

\( \left( \frac{\pi}{\sin(\pi z)} \right)^2 = \sum_{n \in \mathbb{Z}} \frac{1}{(z - n)^2} \) 给定函数 \( f(z) = \left( \frac{\pi}{\sin(\pi z)} \right)^2 \) ，让我们分析它在 \( z = n + w \) （其中 \( n \) 为整数）的形式。 分析过程 函数替换： \[ z = n + w \] 其中 \( n \) 为整数， \( w \) 为复数。 正弦函数性质： 我们知道 \(\sin(\pi z) = \sin(\pi (n + w)) = \sin(\pi n + \pi w)\) 。 利用正弦函数的周期性： \[ \sin(\pi n + \pi w) = \sin(\pi n) \cos(\pi w) + \cos(\pi n) \sin(\pi w) \] 对于整数 \( n \) ，我们有 Read more

要证明不等式 \(u_1 + u_2 + \cdots + u_n < (1 + u_1)(1 + u_2) \cdots (1 + u_n) < e^{u_1 + u_2 + \cdots + u_n}\) ，我们可以使用数学归纳法和一些初等不等式。 不等式的两部分 第一部分：\( u_1 + u_2 + \cdots + u_n < (1 + u_1)(1 + u_2) \cdots (1 + u_n) \) 这是基本的乘法不等式，可以使用归纳法证明。 基础情况： 当 \( n = 1 \) 时，不等式显然成立，因为 \( u_1 < 1 + u_1 \) 。 归纳假设： 假设对 \( n = k \) 时 Read more

\( H(\Omega) \) 是 \( C^\infty(\Omega) \) 的一个子集。 定义和关系 \( C^\infty(\Omega) \) ： 这个符号表示定义在开集 \(\Omega \subseteq \mathbb{C}\) 上的所有光滑（无限可微）复函数的集合。 这些函数在其定义域内的每一点都具有任意阶的连续偏导数。 \( H(\Omega) \) ： 这个符号表示定义在开集 \(\Omega \subseteq \mathbb{C}\) 上的所有全纯函数的集合。 一个函数 \( f \) 是全纯的，如果它在 \(\Omega\) 的每一点都是复变函数的解析函数，即在每一点 Read more

复函数在孤立奇点 \( z_0 \) 和无穷远点的洛朗级数形式。 在 \( z_0 \) 点的孤立奇点 设复函数 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 点有孤立奇点，则 \( f(z) \) 可以在 \( z_0 \) 点的一个环域内展开为洛朗级数： \[ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z-z_0)^n \] 其中，系数 \( c_n \) 由以下公式给出： \[ c_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} \, d\zeta \] 其中，\(\gamma\) 是包含 \( z_0 \) 点的一个环路。 特殊情形： 可去奇点： 如果 Read more

证明过程 设定与假设： 给定一个开集 \(\Omega \subset \mathbb{C}\)。 \(u\) 是 \(\Omega\) 上的一个 \(C^2\) 函数，并满足拉普拉斯方程 \(u_{xx} + u_{yy} = 0\)，即 \(u\) 是调和函数。 定义 \(w = -u_y dx + u_x dy\)，这是一个1-形式。 证明 \(\int_\gamma w\) 与路径无关 ： 考虑两个点 \(z_0, z_1 \in \Omega\)，以及连接这两个点的两条不同路径 \(\gamma_1\) 和 \(\gamma_2\)。 这两条路 Read more