复合函数对曲线环绕数的影响

要理解为什么 $\nu (fg(K),0)=\nu (f(K),0)+\nu (g(K),0)$，我们需要深入探讨复变函数的环绕数（winding number）以及复函数的复合映射如何影响环绕数。

环绕数的定义

环绕数 $\nu (K,r)$ 描述了环路 $K$ 绕过点 $r$ 的次数，顺时针方向计为负，逆时针方向计为正。特别地，$\nu (K,0)$ 表示环路 $K$ 绕原点的环绕数。

复函数映射和环绕数

复变函数 $f$ 和 $g$ 是从复平面到复平面的映射，它们将环路 $K$ 上的每个点映射到新的点，形成新的环路 $f(K)$ 和 $g(K)$。

复合函数和环绕数

考虑复合函数 $fg$，它将环路 $K$ 映射到新的环路 $fg(K)$，其中 $fg(z)=f(g(z))$。我们希望理解环路 $fg(K)$ 绕原点的环绕数如何与环路 $f(K)$ 和 $g(K)$ 的环绕数相关。

环绕数的叠加

1. 环路 $K$ 映射到 $g(K)$ ：

   • $g(K)$ 是环路 $K$ 通过函数 $g$ 映射后的新环路。
   • $\nu (g(K),0)$ 表示环路 $g(K)$ 绕原点的环绕数。

2. 环路 $g(K)$ 映射到 $f(g(K))$ ：

   • $f(g(K))$ 是环路 $g(K)$ 通过函数 $f$ 映射后的新环路。
   • $\nu (f(g(K)),0)$ 表示环路 $f(g(K))$ 绕原点的环绕数。

根据环绕数的性质，如果我们首先计算环路 $K$ 映射后的新环绕数 $\nu (g(K),0)$，然后计算这个新环路经过函数 $f$ 映射后的环绕数，整个过程中的总环绕数就是这些单步环绕数的和。这可以表述为： $$\nu (f(g(K)),0)=\nu (f(K),0)+\nu (g(K),0)$$

证明概述

1. 第一步映射 （通过 $g$ 映射环路 $K$） ：

   • 将 $K$ 映射为 $g(K)$，得到新的环路 $g(K)$。
   • 计算 $\nu (g(K),0)$。

2. 第二步映射 （通过 $f$ 映射环路 $g(K)$） ：

   • 将环路 $g(K)$ 映射为 $f(g(K))$。
   • 计算 $\nu (f(g(K)),0)$。

通过逐步计算每个函数的映射过程中的环绕数，我们得到总环绕数为单步环绕数的叠加。这是因为复函数的复合映射导致环绕数的线性叠加。

因此，环路 $K$ 经过复合函数 $fg$ 映射后的环绕数等于环路 $K$ 先经过 $g$ 映射后的环绕数加上该结果再经过 $f$ 映射后的环绕数： $$\nu (fg(K),0)=\nu (f(K),0)+\nu (g(K),0)$$ 这就是我们所需要的结果。

---