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复合函数对曲线环绕数的影响

复合函数对曲线环绕数的影响

要理解为什么 ν(fg(K),0)=ν(f(K),0)+ν(g(K),0),我们需要深入探讨复变函数的环绕数(winding number)以及复函数的复合映射如何影响环绕数。

环绕数的定义

环绕数 ν(K,r) 描述了环路 K 绕过点 r 的次数,顺时针方向计为负,逆时针方向计为正。特别地,ν(K,0) 表示环路 K 绕原点的环绕数。

复函数映射和环绕数

复变函数 fg 是从复平面到复平面的映射,它们将环路 K 上的每个点映射到新的点,形成新的环路 f(K)g(K)

复合函数和环绕数

考虑复合函数 fg,它将环路 K 映射到新的环路 fg(K),其中 fg(z)=f(g(z))。我们希望理解环路 fg(K) 绕原点的环绕数如何与环路 f(K)g(K) 的环绕数相关。

环绕数的叠加

  1. 环路 K 映射到 g(K)

    • g(K) 是环路 K 通过函数 g 映射后的新环路。
    • ν(g(K),0) 表示环路 g(K) 绕原点的环绕数。
  2. 环路 g(K) 映射到 f(g(K))

    • f(g(K)) 是环路 g(K) 通过函数 f 映射后的新环路。
    • ν(f(g(K)),0) 表示环路 f(g(K)) 绕原点的环绕数。
根据环绕数的性质,如果我们首先计算环路 K 映射后的新环绕数 ν(g(K),0),然后计算这个新环路经过函数 f 映射后的环绕数,整个过程中的总环绕数就是这些单步环绕数的和。这可以表述为: ν(f(g(K)),0)=ν(f(K),0)+ν(g(K),0)

证明概述

  1. 第一步映射 (通过 g 映射环路 K

    • K 映射为 g(K),得到新的环路 g(K)
    • 计算 ν(g(K),0)
  2. 第二步映射 (通过 f 映射环路 g(K)

    • 将环路 g(K) 映射为 f(g(K))
    • 计算 ν(f(g(K)),0)

通过逐步计算每个函数的映射过程中的环绕数,我们得到总环绕数为单步环绕数的叠加。这是因为复函数的复合映射导致环绕数的线性叠加。

因此,环路 K 经过复合函数 fg 映射后的环绕数等于环路 K 先经过 g 映射后的环绕数加上该结果再经过 f 映射后的环绕数: ν(fg(K),0)=ν(f(K),0)+ν(g(K),0) 这就是我们所需要的结果。


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