复合函数对曲线环绕数的影响

要理解为什么 \(\nu(fg(K), 0) = \nu(f(K), 0) + \nu(g(K), 0)\)，我们需要深入探讨复变函数的环绕数（winding number）以及复函数的复合映射如何影响环绕数。

环绕数的定义

环绕数 \(\nu(K, r)\) 描述了环路 \( K \) 绕过点 \( r \) 的次数，顺时针方向计为负，逆时针方向计为正。特别地，\(\nu(K, 0)\) 表示环路 \( K \) 绕原点的环绕数。

复函数映射和环绕数

复变函数 \( f \) 和 \( g \) 是从复平面到复平面的映射，它们将环路 \( K \) 上的每个点映射到新的点，形成新的环路 \( f(K) \) 和 \( g(K) \)。

复合函数和环绕数

考虑复合函数 \( fg \)，它将环路 \( K \) 映射到新的环路 \( fg(K) \)，其中 \( fg(z) = f(g(z)) \)。我们希望理解环路 \( fg(K) \) 绕原点的环绕数如何与环路 \( f(K) \) 和 \( g(K) \) 的环绕数相关。

环绕数的叠加

1. 环路 \( K \) 映射到 \( g(K) \) ：

   • \( g(K) \) 是环路 \( K \) 通过函数 \( g \) 映射后的新环路。
   • \(\nu(g(K), 0)\) 表示环路 \( g(K) \) 绕原点的环绕数。

2. 环路 \( g(K) \) 映射到 \( f(g(K)) \) ：

   • \( f(g(K)) \) 是环路 \( g(K) \) 通过函数 \( f \) 映射后的新环路。
   • \(\nu(f(g(K)), 0)\) 表示环路 \( f(g(K)) \) 绕原点的环绕数。

根据环绕数的性质，如果我们首先计算环路 \( K \) 映射后的新环绕数 \( \nu(g(K), 0) \)，然后计算这个新环路经过函数 \( f \) 映射后的环绕数，整个过程中的总环绕数就是这些单步环绕数的和。这可以表述为： \[ \nu(f(g(K)), 0) = \nu(f(K), 0) + \nu(g(K), 0) \]

证明概述

1. 第一步映射 （通过 \( g \) 映射环路 \( K \)） ：

   • 将 \( K \) 映射为 \( g(K) \)，得到新的环路 \( g(K) \)。
   • 计算 \( \nu(g(K), 0) \)。

2. 第二步映射 （通过 \( f \) 映射环路 \( g(K) \)） ：

   • 将环路 \( g(K) \) 映射为 \( f(g(K)) \)。
   • 计算 \( \nu(f(g(K)), 0) \)。

通过逐步计算每个函数的映射过程中的环绕数，我们得到总环绕数为单步环绕数的叠加。这是因为复函数的复合映射导致环绕数的线性叠加。

因此，环路 \( K \) 经过复合函数 \( fg \) 映射后的环绕数等于环路 \( K \) 先经过 \( g \) 映射后的环绕数加上该结果再经过 \( f \) 映射后的环绕数： \[ \nu(fg(K), 0) = \nu(f(K), 0) + \nu(g(K), 0) \] 这就是我们所需要的结果。

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