复向量空间的实化（realification of a complex vector space）是将一个复向量空间转换成一个实向量空间的过程。在实化过程中，复向量空间的向量和复数标量被拆分为实部和虚部，从而在实向量空间中表示。具体来说，如果我们有一个复向量空间 V ，其实化可以通过以下步骤实现：

1. 形式定义：

   • 如果 \( V \) 是一个复向量空间，那么 \( V \) 的实化记作 \( V_{\mathbb{R}} \)。
   • 实化后的空间 \( V_{\mathbb{R}} \) 作为一个实向量空间，它的维数是原复向量空间 \( V \) 维数的两倍。

2. 具体构造：

   • 设 \( V \) 是一个复向量空间，向量 \( v \in V \) 可以表示为 \( v = x + iy \)，其中 \( x \) 和 \( y \) 是 \( V \) 中的实向量。
   • \( V_{\mathbb{R}} \) 由 \( V \) 中所有向量的实部和虚部组成。换句话说，\( V_{\mathbb{R}} \) 中的每个向量都可以表示为一个有序对 \( (x, y) \)，其中 \( x \) 和 \( y \) 都是 \( V \) 中的实向量。

3. 向量加法和标量乘法：

   • 向量加法：\( (x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2) \)。
   • 标量乘法：对于实数 \( a \)，有 \( a(x, y) = (ax, ay) \)。

4. 实线性映射：

   • 复向量空间 \( V \) 中的复线性映射 \( T: V \to V \) 在实化后的空间 \( V_{\mathbb{R}} \) 上对应于一个实线性映射 \( T_{\mathbb{R}} \)，定义为：
     • \( T_{\mathbb{R}}(x, y) = (T(x), T(y)) \)。

示例

• 复向量 \( v = (z_1, z_2, \ldots, z_n) \)，其中 \( z_i = x_i + iy_i \)。
• 实化后，向量 \( v \) 可以表示为 \( ((x_1, y_1), (x_2, y_2), \ldots, (x_n, y_n)) \)，也就是 \( \mathbb{R}^{2n} \) 中的一个向量。