我们用符号来表示矩阵 \( A \)、矩阵 \( B \) 和向量 \( \mathbf{x} \)，然后用这些符号计算 \( BAx \) 的过程。
定义符号
矩阵 \( A \) 表示为：
\[
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}
\]
矩阵 \( B \) 表示为：
\[
B = \begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23} \\
b_{31} & b_{32} & b_{33}
\end{pmatrix}
\]
向量 \( \mathbf{x} \) 表示为：
\[
\mathbf{x} = \begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
\]
### 计算 \( A \mathbf{x} \)
我们首先计算矩阵 \( A \) 和向量 \( \mathbf{x} \) 的乘积：
\[
A \mathbf{x} = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
\]
结果是一个向量，其分量为：
\[
(A \mathbf{x})_i = \sum_{j=1}^{3} a_{ij} x_j
\]
所以，\( A \mathbf{x} \) 可以表示为：
\[
A \mathbf{x} = \begin{pmatrix}
\sum_{j=1}^{3} a_{1j} x_j \\
\sum_{j=1}^{3} a_{2j} x_j \\
\sum_{j=1}^{3} a_{3j} x_j
\end{pmatrix}
\]
计算 \( B (A \mathbf{x}) \)
接下来，计算矩阵 \( B \) 和向量 \( A \mathbf{x} \) 的乘积：
\[
B (A \mathbf{x}) = \begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23} \\
b_{31} & b_{32} & b_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\sum_{j=1}^{3} a_{1j} x_j \\
\sum_{j=1}^{3} a_{2j} x_j \\
\sum_{j=1}^{3} a_{3j} x_j
\end{pmatrix}
\]
结果是一个向量，其分量为：
\[
(B (A \mathbf{x}))_i = \sum_{k=1}^{3} b_{ik} \left( \sum_{j=1}^{3} a_{kj} x_j \right)
\]
我们可以将其简化为：
\[
(B (A \mathbf{x}))_i = \sum_{k=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} b_{ik} a_{kj} x_j
\]
所以，\( B (A \mathbf{x}) \) 可以表示为：
\[
B (A \mathbf{x}) = \begin{pmatrix}
\sum_{k=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} b_{1k} a_{kj} x_j \\
\sum_{k=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} b_{2k} a_{kj} x_j \\
\sum_{k=1}^{3} \sum_{j=1}^{3} b_{3k} a_{kj} x_j
\end{pmatrix}
\]
这样，我们就用字母和求和符号表示了计算 \( BAx \) 的过程。
接下来计算矩阵 \( B \) 和矩阵 \( A \) 的乘积，然后再将得到的矩阵与向量 \( \mathbf{x} \) 相乘。
定义符号
矩阵 \( A \) 表示为：
\[
A = \begin{pmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{pmatrix}
\]
矩阵 \( B \) 表示为：
\[
B = \begin{pmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13} \\
b_{21} & b_{22} & b_{23} \\
b_{31} & b_{32} & b_{33}
\end{pmatrix}
\]
向量 \( \mathbf{x} \) 表示为：
\[
\mathbf{x} = \begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
\]
计算矩阵 \( BA \)
矩阵乘法的定义是：
\[
(BA)_{ij} = \sum_{k=1}^{3} b_{ik} a_{kj}
\]
所以，矩阵 \( BA \) 可以表示为：
\[
BA = \begin{pmatrix}
\sum_{k=1}^{3} b_{1k} a_{k1} & \sum_{k=1}^{3} b_{1k} a_{k2} & \sum_{k=1}^{3} b_{1k} a_{k3} \\
\sum_{k=1}^{3} b_{2k} a_{k1} & \sum_{k=1}^{3} b_{2k} a_{k2} & \sum_{k=1}^{3} b_{2k} a_{k3} \\
\sum_{k=1}^{3} b_{3k} a_{k1} & \sum_{k=1}^{3} b_{3k} a_{k2} & \sum_{k=1}^{3} b_{3k} a_{k3}
\end{pmatrix}
\]
具体计算
\[
(BA)_{11} = b_{11} a_{11} + b_{12} a_{21} + b_{13} a_{31}
\]
\[
(BA)_{12} = b_{11} a_{12} + b_{12} a_{22} + b_{13} a_{32}
\]
\[
(BA)_{13} = b_{11} a_{13} + b_{12} a_{23} + b_{13} a_{33}
\]
\[
(BA)_{21} = b_{21} a_{11} + b_{22} a_{21} + b_{23} a_{31}
\]
\[
(BA)_{22} = b_{21} a_{12} + b_{22} a_{22} + b_{23} a_{32}
\]
\[
(BA)_{23} = b_{21} a_{13} + b_{22} a_{23} + b_{23} a_{33}
\]
\[
(BA)_{31} = b_{31} a_{11} + b_{32} a_{21} + b_{33} a_{31}
\]
\[
(BA)_{32} = b_{31} a_{12} + b_{32} a_{22} + b_{33} a_{32}
\]
\[
(BA)_{33} = b_{31} a_{13} + b_{32} a_{23} + b_{33} a_{33}
\]
计算结果表示为矩阵
\[
BA = \begin{pmatrix}
b_{11} a_{11} + b_{12} a_{21} + b_{13} a_{31} & b_{11} a_{12} + b_{12} a_{22} + b_{13} a_{32} & b_{11} a_{13} + b_{12} a_{23} + b_{13} a_{33} \\
b_{21} a_{11} + b_{22} a_{21} + b_{23} a_{31} & b_{21} a_{12} + b_{22} a_{22} + b_{23} a_{32} & b_{21} a_{13} + b_{22} a_{23} + b_{23} a_{33} \\
b_{31} a_{11} + b_{32} a_{21} + b_{33} a_{31} & b_{31} a_{12} + b_{32} a_{22} + b_{33} a_{32} & b_{31} a_{13} + b_{32} a_{23} + b_{33} a_{33}
\end{pmatrix}
\]
将 \( BA \) 作用于向量 \( \mathbf{x} \)
接下来，我们计算 \( (BA) \mathbf{x} \)。
\[
(BA) \mathbf{x} = \begin{pmatrix}
(BA)_{11} & (BA)_{12} & (BA)_{13} \\
(BA)_{21} & (BA)_{22} & (BA)_{23} \\
(BA)_{31} & (BA)_{32} & (BA)_{33}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
\]
每个分量的计算为：
\[
((BA) \mathbf{x})_i = \sum_{j=1}^{3} (BA)_{ij} x_j
\]
具体表示为：
\[
((BA) \mathbf{x})_1 = (b_{11} a_{11} + b_{12} a_{21} + b_{13} a_{31}) x_1 + (b_{11} a_{12} + b_{12} a_{22} + b_{13} a_{32}) x_2 + (b_{11} a_{13} + b_{12} a_{23} + b_{13} a_{33}) x_3
\]
\[
((BA) \mathbf{x})_2 = (b_{21} a_{11} + b_{22} a_{21} + b_{23} a_{31}) x_1 + (b_{21} a_{12} + b_{22} a_{22} + b_{23} a_{32}) x_2 + (b_{21} a_{13} + b_{22} a_{23} + b_{23} a_{33}) x_3
\]
\[
((BA) \mathbf{x})_3 = (b_{31} a_{11} + b_{32} a_{21} + b_{33} a_{31}) x_1 + (b_{31} a_{12} + b_{32} a_{22} + b_{33} a_{32}) x_2 + (b_{31} a_{13} + b_{32} a_{23} + b_{33} a_{33}) x_3
\]
最终，\( (BA) \mathbf{x} \) 可以表示为：
\[
(BA) \mathbf{x} = \begin{pmatrix}
(b_{11} a_{11} + b_{12} a_{21} + b_{13} a_{31}) x_1 + (b_{11} a_{12} + b_{12} a_{22} + b_{13} a_{32}) x_2 + (b_{11} a_{13} + b_{12} a_{23} + b_{13} a_{33}) x_3 \\
(b_{21} a_{11} + b_{22} a_{21} + b_{23} a_{31}) x_1 + (b_{21} a_{12} + b_{22} a_{22} + b_{23} a_{32}) x_2 + (b_{21} a_{13} + b_{22} a_{23} + b_{23} a_{33}) x_3 \\
(b_{31} a_{11} + b_{32} a_{21} + b_{33} a_{31}) x_1 + (b_{31} a_{12} + b_{32} a_{22} + b_{33} a_{32}) x_2 + (b_{31} a_{13} + b_{32} a_{23} + b_{33} a_{33}) x_3
\end{pmatrix}
\]
这样，我们就完成了 \( BA \) 矩阵与向量 \( \mathbf{x} \) 的符号计算过程。