复函数的导数在一点 不为零时，对应的雅可比行列式
复函数的导数在一点 \( z_0 \) 不为零时，对应的雅可比行列式（Jacobian 行列式）为正的原因与复分析中的几个关键概念有关，特别是关于解析函数和复数导数的性质。下面详细解释这一点。
首先，复函数 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) 的导数在 \( z_0 \) 不为零意味着它在 \( z_0 \) 处是解析的，并且 \( f'(z_0) \neq 0 \)。这里，复数 \( z = x + iy \)，且 \( u(x, y) \) 和 \( v(x, y) \) 分别是 \( f \) 的实部和虚部，都是 \( x \) 和 \( y \) 的函数。
Cauchy-Riemann 方程
复函数 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 解析意味着 \( u \) 和 \( v \) 在该点满足 Cauchy-Riemann 方程：
\[
\begin{cases}
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \\
\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}
\end{cases}
\]
雅可比行列式
雅可比行列式 \( J \) 是由 \( u \) 和 \( v \) 对 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数组成的行列式：
\[
J = \begin{vmatrix}
\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\
\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}
\end{vmatrix}
\]
利用 Cauchy-Riemann 方程，可以重写这个行列式：
\[
J = \begin{vmatrix}
\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\
\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}
\end{vmatrix}
= \begin{vmatrix}
\frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\
-\frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial x}
\end{vmatrix}
\]
计算雅可比行列式
计算这个行列式的值：
\[
J = \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)^2
\]
因为 \( f'(z_0) \neq 0 \)，所以 \( \frac{\partial u}{\partial x} \) 和 \( \frac{\partial u}{\partial y} \) 至少有一个不为零，从而 \( \left( \frac{\partial u}{\partial x} \right)^2 + \left( \frac{\partial u}{\partial y} \right)^2 > 0 \)。
由于这个和是两个实数平方和，它们必定是非负的，并且因为 \( f'(z_0) \neq 0 \)，这个和严格大于零。
因此，复函数在一点的导数不为零对应的 Jacobian 行列式大于零的原因在于 Cauchy-Riemann 方程确保了偏导数满足特定的关系，从而使得行列式的值是两个非零平方和，必定大于零。
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