要将复函数 \( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) \) 沿曲线 \(\gamma\) 积分并参数化，我们可以按照以下步骤进行推导：
1. **参数化曲线 \(\gamma\)**：设曲线 \(\gamma\) 用参数 \( t \) 来表示，其中 \( t \) 在区间 \([a, b]\) 内变化。
\[ z(t) = \gamma(t) = x(t) + iy(t) \]
2. **复积分定义**：复函数 \( f(z) \) 沿曲线 \(\gamma\) 的积分定义为：
\[
\int_\gamma f(z) \, dz = \int_\gamma (u(x,y) + iv(x,y)) \, dz
\]
3. **计算微分 \( dz \)**：根据参数化形式 \( z(t) = x(t) + iy(t) \)，我们可以得到：
\[
dz = \frac{dz}{dt} \, dt = \left( \frac{dx}{dt} + i \frac{dy}{dt} \right) dt = \gamma'(t) \, dt
\]
4. **将复函数 \( f(z) \) 代入参数化表达式**：
\[
f(\gamma(t)) = u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t))
\]
5. **将复积分写成参数 \( t \) 的形式**：
\[
\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \frac{dz}{dt} \, dt = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t) \, dt
\]
6. **将 \( f(\gamma(t)) \) 和 \( \gamma'(t) \) 代入积分**：
\[
\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b \left( u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t)) \right) \left( \frac{dx}{dt} + i \frac{dy}{dt} \right) dt
\]
7. **展开乘积并分离实部和虚部**：
\[
\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b \left[ u(x(t), y(t)) \frac{dx}{dt} - v(x(t), y(t)) \frac{dy}{dt} \right] dt + i \int_a^b \left[ u(x(t), y(t)) \frac{dy}{dt} + v(x(t), y(t)) \frac{dx}{dt} \right] dt
\]
由此，我们得到：
\[
\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t) \, dt
\]
**总结**：复函数 \( f(z) \) 沿曲线 \(\gamma\) 的积分可以通过曲线参数化后的表达式表示为：
\[
\int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t) \, dt
\]
这个公式通过参数化曲线 \(\gamma\)，将复积分转换为参数 \( t \) 的积分，简化了计算过程。
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