对 f(z) 分离实部虚部后的积分
当我们把复函数 \( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) \) 分离成实部 \( u(x,y) \) 和虚部 \( v(x,y) \) 之后，对曲线 \(\gamma\) 进行积分时，可以将复积分分离为两个实积分的组合。 设 \(\gamma\) 是复平面上的一条曲线，由参数化形式 \( z(t) = x(t) + iy(t) \) 表示，参数 \( t \) 在区间 \([a, b]\) 上变化。复函数 \( f(z) \) 沿曲线 \(\gamma\) 的积分为： \[ \int_\gamma f(z) \, dz = \int_\gamma (u(x,y) + iv(x,y)) \, dz \] 我们可以将这个复积分分离为两个实积分： \[ \int_\gamma f(z) \, dz = \int_\gamma u(x,y) \, dz + i \int_\gamma v(x,y) \, dz \] 根据参数化形式 \( z(t) \)，我们可以将 \( dz \) 表示为 \( z(t) \) 的导数： \[ dz = \frac{dz}{dt} \, dt = \left( \frac{dx}{dt} + i \frac{dy}{dt} \right) dt \] 现在，将复积分写成参数 \( t \) 的形式： \[ \int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b (u(x(t), y(t)) + iv(x(t), y(t))) \left( \frac{dx}{dt} + i \frac{dy}{dt} \right) dt \] 展开并分离实部和虚部： \[ \int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b \left[ u(x(t), y(t)) \frac{dx}{dt} - v(x(t), y(t)) \frac{dy}{dt} \right] dt + i \int_a^b \left[ u(x(t), y(t)) \frac{dy}{dt} + v(x(t), y(t)) \frac{dx}{dt} \right] dt \] 因此，复函数 \( f(z) \) 沿曲线 \(\gamma\) 的积分可以分离成两个实积分： \[ \int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b \left[ u(x(t), y(t)) \frac{dx}{dt} - v(x(t), y(t)) \frac{dy}{dt} \right] dt + i \int_a^b \left[ u(x(t), y(t)) \frac{dy}{dt} + v(x(t), y(t)) \frac{dx}{dt} \right] dt \] 这两个积分分别表示复函数的实部和虚部沿曲线的贡献。总结如下:-
实部积分： \[ \int_\gamma u(x,y) \, dx - v(x,y) \, dy \]
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虚部积分： \[ \int_\gamma u(x,y) \, dy + v(x,y) \, dx \] 这就是将复函数 \( f(z) \) 分离成实部和虚部后，对曲线 \(\gamma\) 进行积分的结果。