2-2-1 全微分用z和z的共轭的复偏导数的表示形式

为了分析为什么 \( df = \partial_z f \, dz + \partial_{\overline{z}} f \, d\overline{z} \)，我们需要理解如何将复变量的导数表示与实变量的导数表示联系起来。这涉及到复分析中的Cauchy-Riemann方程和复变量的偏导数。我们从以下几个定义和等式开始：

复变量的表示： \[ z = x + iy \quad \text{和} \quad \overline{z} = x - iy \]
微分表示： \[ dz = dx + i\,dy \quad \text{和} \quad d\overline{z} = dx - i\,dy \]
函数 f 的全微分： \[ df = \frac{\partial f}{\partial x} \, dx + \frac{\partial f}{\partial y} \, dy \]

现在我们要用 \(dz\) 和 \(d\overline{z}\) 表示 \(df\)。首先，我们可以写出 \(dx\) 和 \(dy\) 的表达式： \[ dx = \frac{1}{2}(dz + d\overline{z}) \quad \text{和} \quad dy = \frac{1}{2i}(dz - d\overline{z}) \] 将这些表达式代入到 \(df\) 的全微分公式中： \[ df = \frac{\partial f}{\partial x} \, dx + \frac{\partial f}{\partial y} \, dy \] \[ df = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot \frac{1}{2}(dz + d\overline{z}) + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{1}{2i}(dz - d\overline{z}) \] 接下来，我们整理这个表达式： \[ df = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) (dz + d\overline{z}) + \frac{1}{2i} \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) (dz - d\overline{z}) \] 将 \(dz\) 和 \(d\overline{z}\) 的项分别组合在一起： \[ df = \left( \frac{1}{2} \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{1}{2i} \frac{\partial f}{\partial y} \right) dz + \left( \frac{1}{2} \frac{\partial f}{\partial x} - \frac{1}{2i} \frac{\partial f}{\partial y} \right) d\overline{z} \] 现在定义： \[ \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial f}{\partial x} - i \frac{\partial f}{\partial y} \right) \quad \text{和} \quad \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial f}{\partial x} + i \frac{\partial f}{\partial y} \right) \] 因此，上述公式可以重写为： \[ df = \frac{\partial f}{\partial z} \, dz + \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} \, d\overline{z} \] 这表明了复变量 \(f(z, \overline{z})\) 的全微分可以用复偏导数 \(\frac{\partial f}{\partial z}\) 和 \(\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}\) 表示。这个结果是非常重要的，因为它展示了复分析中复微分与实微分之间的关系。这种表示法在复变函数论中非常有用，尤其是在处理全纯函数和解析函数时。

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