要计算函数 \( g(z) = \frac{1}{z^n} \) 沿圆周 \( \gamma \) 的积分
圆周积分的计算
设圆周 \(\gamma\) 是一个以原点为中心、半径为 \( R \) 的圆，即 \( \gamma: z = Re^{i\theta} \) 其中 \(\theta\) 从 0 到 \(2\pi\) 变化。我们需要计算沿这个圆周的积分： \[ \int_\gamma \frac{1}{z^n} \, dz \]-
参数化圆周： 参数化圆周 \( \gamma \) 为： \[ z = Re^{i\theta} \quad \text{和} \quad dz = iRe^{i\theta} \, d\theta \]
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将参数化代入积分： \[ \int_\gamma \frac{1}{z^n} \, dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{(Re^{i\theta})^n} \cdot iRe^{i\theta} \, d\theta \]
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简化积分： \[ \frac{1}{(Re^{i\theta})^n} = \frac{1}{R^n e^{in\theta}} \] \[ dz = iRe^{i\theta} \, d\theta \] 代入上述结果： \[ \int_0^{2\pi} \frac{1}{R^n e^{in\theta}} \cdot iRe^{i\theta} \, d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{iRe^{i\theta}}{R^n e^{in\theta}} \, d\theta = \int_0^{2\pi} \frac{i}{R^{n-1}} e^{i(1-n)\theta} \, d\theta \]
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计算积分： 积分为： \[ \int_0^{2\pi} \frac{i}{R^{n-1}} e^{i(1-n)\theta} \, d\theta \] 这可以简化为： \[ \frac{i}{R^{n-1}} \int_0^{2\pi} e^{i(1-n)\theta} \, d\theta \] 对于 \( \int_0^{2\pi} e^{ik\theta} \, d\theta \) 来说：
- 当 \( k = 0 \) 时，积分结果是 \( 2\pi \)。
- 当 \( k \neq 0 \) 时，积分结果是 \( 0 \)。
在这里，\( k = 1 - n \)。 所以：
- 如果 \( n = 1 \)，\( \int_0^{2\pi} e^{i(1-1)\theta} \, d\theta = \int_0^{2\pi} 1 \, d\theta = 2\pi \)。
- 如果 \( n \neq 1 \)，\( \int_0^{2\pi} e^{i(1-n)\theta} \, d\theta = 0 \)。
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总结结果：
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对于 n = 1： \[ \int_\gamma \frac{1}{z^n} \, dz = \frac{i}{R^{1-1}} \cdot 2\pi = 2\pi i \]
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对于 \( n \neq 1 \)： \[ \int_\gamma \frac{1}{z^n} \, dz = \frac{i}{R^{n-1}} \cdot 0 = 0 \]
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结论：函数 \( g(z) = \frac{1}{z^n} \) 沿以原点为中心、半径为 \( R \) 的圆周的积分为： \[ \int_\gamma \frac{1}{z^n} \, dz = \begin{cases} 2\pi i & \text{if } n = 1 \\ 0 & \text{if } n \neq 1 \end{cases} \]