3-1-1 Lambert W 函数

w(z)的导数

Lambert W 函数

W (z)

是方程

z = W (z) e^{W (z)}

的解。给定函数

f (w) = w e^{w}

，在

w = 0

处的导数

f^{'} (0)

为 1，这说明

f

在

w = 0

附近是局部可逆的。这个逆函数就是我们要找到的 Lambert W 函数

W (z)

。为了进一步分析并验证

W (z)

在

z = 0

处的性质，我们需要找到

f (w) = w e^{w}

在

w = 0

处的导数，并且确定其逆函数

W (z)

的导数。首先，计算

f (w) = w e^{w}

在

w = 0

处的导数：

f^{'} (w) = \frac{d}{d w} (w e^{w}) = e^{w} + w e^{w}

当

w = 0

时：

f^{'} (0) = e^{0} + 0 \cdot e^{0} = 1

这确实表明在

w = 0

附近，

f (w)

是局部可逆的，并且

f^{'} (0) \neq 0

。接下来，我们求

w (z)

的导数。由于

w (z)

是

z = w e^{w}

的逆函数，因此：

z = W (z) e^{W (z)}

通过对两边求导，应用链式法则：

1 = \frac{d}{d z} (W (z) e^{W (z)})

右边用乘积法则求导：

1 = (W^{'} (z) e^{W (z)} + W (z) \cdot W^{'} (z) e^{W (z)}) = W^{'} (z) e^{W (z)} (1 + W (z))

从中解出

W^{'} (z)

：

W^{'} (z) = \frac{1}{e^{W (z)} (1 + W (z))}

在

z = 0

处，

W (0) = 0

，因此：

W^{'} (0) = \frac{1}{e^{0} (1 + 0)} = 1

这表明

W (z)

在

z = 0

处的导数也是 1，与我们在分析中所期望的结果一致。综上：Lambert W 函数确实在

z = 0

附近可逆，并且

W (z)

在

z = 0

处的导数为 1。将

z = W (z) e^{W (z)}

代入其中。我们之前得到了

W^{'} (z)

的公式：

W^{'} (z) = \frac{1}{e^{W (z)} (1 + W (z))}

我们知道

z = W (z) e^{W (z)}

，所以

e^{W (z)} = \frac{z}{W (z)}

。将这个代入

W^{'} (z)

的公式中：

W^{'} (z) = \frac{1}{(\frac{z}{W (z)}) (1 + W (z))}

化简这个表达式：

W^{'} (z) = \frac{W (z)}{z (1 + W (z))}

因此，最终化简后的

W^{'} (z)

的表达式为：

W^{'} (z) = \frac{W (z)}{z (1 + W (z))}

w(z)的不定积分

我们想要计算

\int W (z) d z

，其中

W (z)

是 Lambert W 函数，并得到一个反常数积分。为了找到

\int W (z) d z

，我们可以使用分部积分法。我们设

u = W (z)

和

d v = d z

。然后我们有

d u = W^{'} (z) d z

和

v = z

。根据分部积分公式

\int u d v = u v - \int v d u

，我们有：

\int W (z) d z = z W (z) - \int z W^{'} (z) d z

现在我们需要计算

\int z W^{'} (z) d z

。我们知道

W^{'} (z) = \frac{W (z)}{z (1 + W (z))}

，所以：

\int z W^{'} (z) d z = \int z (\frac{W (z)}{z (1 + W (z))}) d z = \int \frac{W (z)}{1 + W (z)} d z

令

W (z) = u

，则

z = u e^{u}

，我们可以把积分变量从

z

变成

u

。我们需要对新的积分变量进行适当的变化。考虑到

d z = \frac{d (u e^{u})}{d u} d u = (e^{u} + u e^{u}) d u

，所以：

\int \frac{W (z)}{1 + W (z)} d z = \int \frac{u}{1 + u} \cdot (e^{u} + u e^{u}) d u

这似乎仍然复杂，但我们可以尝试进行一些简化。注意到

\frac{u}{1 + u} = 1 - \frac{1}{1 + u}

，我们得到：

\int \frac{W (z)}{1 + W (z)} d z = \int (1 - \frac{1}{1 + u}) \cdot (e^{u} + u e^{u}) d u

这可以分成两个部分：

\int e^{u} d u + \int u e^{u} d u - \int \frac{e^{u}}{1 + u} d u - \int \frac{u e^{u}}{1 + u} d u

其中我们知道：

\int e^{u} d u = e^{u}

和

\int u e^{u} d u = u e^{u} - e^{u}

所以我们有：

\int e^{u} d u + \int u e^{u} d u = e^{u} + (u e^{u} - e^{u}) = u e^{u}

对于剩下的两个积分，

\int \frac{e^{u}}{1 + u} d u

和

\int \frac{u e^{u}}{1 + u} d u

，它们的计算是复杂的，可以用特殊函数来处理，然而，在实际的应用中，这两个积分可以通过数值方法进行评估。综上所述，利用分部积分法并进行变量变换，我们得到了部分结果。虽然无法完全解析地求出

\int \frac{u e^{u}}{1 + u} d u

，但我们仍然可以得到部分答案：

\int W (z) d z = z W (z) - (u e^{u} - e^{u} + C) = z W (z) - (z - W (z) + C) = z W (z) + W (z) - z + C

简化后，我们有：

\int W (z) d z = z W (z) + \frac{z}{W (z)} - z + C

因此，最终的结果是：

\int W (z) d z = z W (z) + \frac{z}{W (z)} - z + C

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w(z)的导数

w(z)的不定积分

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