w(z)的导数
Lambert W 函数 \( W(z) \) 是方程 \( z = W(z)e^{W(z)} \) 的解。给定函数 \( f(w) = we^w \)，在 \( w = 0 \) 处的导数 \( f'(0) \) 为 1，这说明 \( f \) 在 \( w = 0 \) 附近是局部可逆的。这个逆函数就是我们要找到的 Lambert W 函数 \( W(z) \)。
为了进一步分析并验证 \( W(z) \) 在 \( z = 0 \) 处的性质，我们需要找到 \( f(w) = we^w \) 在 \( w = 0 \) 处的导数，并且确定其逆函数 \( W(z) \) 的导数。
首先，计算 \( f(w) = we^w \) 在 \( w = 0 \) 处的导数：
\[
f'(w) = \frac{d}{dw}(we^w) = e^w + we^w
\]
当 \( w = 0 \) 时：
\[
f'(0) = e^0 + 0 \cdot e^0 = 1
\]
这确实表明在 \( w = 0 \) 附近，\( f(w) \) 是局部可逆的，并且 \( f'(0) \neq 0 \)。
接下来，我们求 \( w(z) \) 的导数。由于 \( w(z) \) 是 \( z = we^w \) 的逆函数，因此：
\[
z = W(z) e^{W(z)}
\]
通过对两边求导，应用链式法则：
\[
1 = \frac{d}{dz} (W(z) e^{W(z)})
\]
右边用乘积法则求导：
\[
1 = \left( W'(z) e^{W(z)} + W(z) \cdot W'(z) e^{W(z)} \right) = W'(z) e^{W(z)} (1 + W(z))
\]
从中解出 \( W'(z) \)：
\[
W'(z) = \frac{1}{e^{W(z)} (1 + W(z))}
\]
在 \( z = 0 \) 处，\( W(0) = 0 \)，因此：
\[
W'(0) = \frac{1}{e^{0} (1 + 0)} = 1
\]
这表明 \( W(z) \) 在 \( z = 0 \) 处的导数也是 1，与我们在分析中所期望的结果一致。
综上：Lambert W 函数确实在 \( z = 0 \) 附近可逆，并且 \( W(z) \) 在 \( z = 0 \) 处的导数为 1。
将 \( z = W(z)e^{W(z)} \) 代入其中。
我们之前得到了 \( W'(z) \) 的公式：
\[ W'(z) = \frac{1}{e^{W(z)} (1 + W(z))} \]
我们知道 \( z = W(z)e^{W(z)} \)，所以 \( e^{W(z)} = \frac{z}{W(z)} \)。将这个代入 \( W'(z) \) 的公式中：
\[ W'(z) = \frac{1}{\left(\frac{z}{W(z)}\right) (1 + W(z))} \]
化简这个表达式：
\[ W'(z) = \frac{W(z)}{z (1 + W(z))} \]
因此，最终化简后的 \( W'(z) \) 的表达式为：
\[ W'(z) = \frac{W(z)}{z (1 + W(z))} \]
w(z)的不定积分
我们想要计算 \(\int W(z) \, dz\)，其中 \(W(z)\) 是 Lambert W 函数，并得到一个反常数积分。
为了找到 \(\int W(z) \, dz\)，我们可以使用分部积分法。
我们设 \(u = W(z)\) 和 \(dv = dz\)。然后我们有 \(du = W'(z) \, dz\) 和 \(v = z\)。
根据分部积分公式 \(\int u \, dv = uv - \int v \, du\)，我们有：
\[
\int W(z) \, dz = zW(z) - \int z \, W'(z) \, dz
\]
现在我们需要计算 \(\int z \, W'(z) \, dz\)。我们知道 \(W'(z) = \frac{W(z)}{z(1+W(z))}\)，所以：
\[
\int z \, W'(z) \, dz = \int z \left( \frac{W(z)}{z(1+W(z))} \right) \, dz = \int \frac{W(z)}{1+W(z)} \, dz
\]
令 \(W(z) = u\)，则 \(z = ue^u\)，我们可以把积分变量从 \(z\) 变成 \(u\)。我们需要对新的积分变量进行适当的变化。考虑到 \(dz = \frac{d(ue^u)}{du} du = (e^u + ue^u) du\)，所以：
\[
\int \frac{W(z)}{1+W(z)} \, dz = \int \frac{u}{1+u} \cdot (e^u + ue^u) \, du
\]
这似乎仍然复杂，但我们可以尝试进行一些简化。注意到 \( \frac{u}{1+u} = 1 - \frac{1}{1+u} \)，我们得到：
\[
\int \frac{W(z)}{1+W(z)} \, dz = \int \left( 1 - \frac{1}{1+u} \right) \cdot (e^u + ue^u) \, du
\]
这可以分成两个部分：
\[
\int e^u \, du + \int ue^u \, du - \int \frac{e^u}{1+u} \, du - \int \frac{ue^u}{1+u} \, du
\]
其中我们知道：
\[
\int e^u \, du = e^u
\]
和
\[
\int ue^u \, du = ue^u - e^u
\]
所以我们有：
\[
\int e^u \, du + \int ue^u \, du = e^u + (ue^u - e^u) = ue^u
\]
对于剩下的两个积分，\(\int \frac{e^u}{1+u} \, du\) 和 \(\int \frac{ue^u}{1+u} \, du\)，它们的计算是复杂的，可以用特殊函数来处理，然而，在实际的应用中，这两个积分可以通过数值方法进行评估。
综上所述，利用分部积分法并进行变量变换，我们得到了部分结果。虽然无法完全解析地求出 \(\int \frac{ue^u}{1+u} \, du\)，但我们仍然可以得到部分答案：
\[
\int W(z) \, dz = zW(z) - (ue^u - e^u + C) = zW(z) - (z - W(z) + C) = zW(z) + W(z) - z + C
\]
简化后，我们有：
\[
\int W(z) \, dz = zW(z) + \frac{z}{W(z)} - z + C
\]
因此，最终的结果是：
\[
\int W(z) \, dz = zW(z) + \frac{z}{W(z)} - z + C
\]
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