[ f(z) = \frac{1}{2\pi i} \left( \int_{\gamma} \frac{f(\xi)}{\xi - z} , d\xi - \int_{D} \frac{\partial f(\xi)}{\partial \bar{\xi}} \cdot \frac{1}{\xi - z} , d\overline\xi \wedge d\xi \right) ]
3-1-2 复变量z及其复共轭的微分二形式分析
在复分析中，复变量 \( z \) 和其共轭 \( \overline{z} \) 以及它们的微分 \( dz \) 和 \( d\overline{z} \) 是重要的概念。我们可以将这些微分形式写成更具体的二形式来理解它们的性质和应用。
微分形式 \( dz \) 和 \( d\overline{z} \)
假设 \( z = x + iy \)，其中 \( x \) 和 \( y \) 是实变量，\( i \) 是虚数单位。那么：
\[ dz = dx + i dy \]
\[ d\overline{z} = dx - i dy \]
二形式的表示
为了找到 \( dz \) 和 \( d\overline{z} \) 的二形式，我们需要计算它们的外积。这些二形式可以在复分析和微分几何中用于研究复平面上的几何和拓扑性质。
\( dz \wedge d\overline{z} \)
首先，我们计算 \( dz \wedge d\overline{z} \)：
\[ dz \wedge d\overline{z} = (dx + i dy) \wedge (dx - i dy) \]
使用外积的分配性质，我们得到：
\[ dz \wedge d\overline{z} = dx \wedge dx - i dx \wedge dy + i dy \wedge dx - i^2 dy \wedge dy \]
因为 \( dx \wedge dx = 0 \) 和 \( dy \wedge dy = 0 \)，以及 \( i^2 = -1 \)，所以：
\[ dz \wedge d\overline{z} = - i dx \wedge dy + i dy \wedge dx + dy \wedge dy \]
我们知道 \( dx \wedge dy = - dy \wedge dx \)，因此：
\[ dz \wedge d\overline{z} = - i dx \wedge dy - i dx \wedge dy \]
\[ dz \wedge d\overline{z} = -2i dx \wedge dy \]
\( d\overline{z} \wedge dz \)
类似地，我们可以计算 \( d\overline{z} \wedge dz \)：
\[ d\overline{z} \wedge dz = (dx - i dy) \wedge (dx + i dy) \]
同样地，我们分配外积：
\[ d\overline{z} \wedge dz = dx \wedge dx + i dx \wedge dy - i dy \wedge dx - i^2 dy \wedge dy \]
由于 \( dx \wedge dx = 0 \) 和 \( dy \wedge dy = 0 \)，以及 \( i^2 = -1 \)，所以：
\[ d\overline{z} \wedge dz = i dx \wedge dy - i dy \wedge dx - dy \wedge dy \]
因此，得到：
\[ d\overline{z} \wedge dz = i dx \wedge dy + i dx \wedge dy \]
\[ d\overline{z} \wedge dz = 2i dx \wedge dy \]