将 u(z) 转为极坐标形式
\[ u(z) = -\frac{1}{2\pi i} \iint_C \frac{\psi(\zeta)}{\zeta - z} \, d\overline{\zeta} \wedge d\zeta \]
将 \(\zeta\) 转换为极坐标形式 \(\zeta = z + re^{i\theta}\)，我们有：
\[ d\zeta = e^{i\theta} \, dr + ire^{i\theta} \, d\theta \]
\[ d\overline{\zeta} = e^{-i\theta} \, dr + ire^{-i\theta} \, d\theta \]
接下来我们需要计算面积元素 \(d\overline{\zeta} \wedge d\zeta\)：
\[ d\overline{\zeta} \wedge d\zeta = (e^{-i\theta} \, dr + ire^{-i\theta} \, d\theta) \wedge (e^{i\theta} \, dr + ire^{i\theta} \, d\theta) \]
展开楔积：
\[ d\overline{\zeta} \wedge d\zeta = e^{-i\theta} e^{i\theta} \, dr \wedge dr + ire^{-i\theta} e^{i\theta} \, d\theta \wedge dr + ire^{-i\theta} e^{i\theta} \, dr \wedge d\theta + i^2 r^2 e^{-i\theta} e^{i\theta} \, d\theta \wedge d\theta \]
注意到 \(dr \wedge dr = 0\) 和 \(d\theta \wedge d\theta = 0\)，我们得到：
\[ d\overline{\zeta} \wedge d\zeta = i r \, d\theta \wedge dr - i r \, dr \wedge d\theta \]
由于 \(d\theta \wedge dr = - dr \wedge d\theta\)，我们有：
\[ d\overline{\zeta} \wedge d\zeta = 2i r \, d\theta \wedge dr \]
将这一结果代入 \(u(z)\) 的表达式中，我们得到：
\[ u(z) = -\frac{1}{2\pi i} \iint_C \frac{\psi(z + re^{i\theta})}{z + re^{i\theta} - z} \cdot 2i r \, d\theta \wedge dr \]
简化分母：
\[ u(z) = -\frac{1}{2\pi i} \iint_C \frac{\psi(z + re^{i\theta})}{re^{i\theta}} \cdot 2i r \, d\theta \wedge dr \]
简化后得到：
\[ u(z) = -\frac{1}{2\pi i} \iint_C \frac{\psi(z + re^{i\theta})}{e^{i\theta}} \cdot 2i dr \wedge d\theta \]
注意到 \(\frac{1}{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}\)，所以：
\[ u(z) = -\frac{1}{\pi} \iint_C \psi(z + re^{i\theta}) \cdot e^{-i\theta} \, dr \wedge d\theta \]
因此，将 \(\zeta = z + re^{i\theta}\) 代入 \(u(z)\) 的表达式后，我们得到 \(u(z)\) 的极坐标形式为：
\[ u(z) = -\frac{1}{\pi} \iint_C \psi(z + re^{i\theta}) \cdot e^{-i\theta} \, dr \wedge d\theta \]
将两个偏导数组合为对z拔偏导数的形式
为了将 \(\frac{\partial u}{\partial x}\) 和 \(\frac{\partial u}{\partial y}\) 组合成 \(\frac{\partial u}{\partial \overline{z}}\) 的形式，我们需要使用复变量中的复偏导数算子。特别是，我们可以利用算子 \(\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}\) 将实偏导数转换为复偏导数。
首先，我们回顾算子 \(\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}\) 的定义：
\[ \frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial f}{\partial x} + i \frac{\partial f}{\partial y} \right) \]
我们知道 \( u \) 对 \( x \) 和 \( y \) 的偏导数分别为：
\[ \frac{\partial u}{\partial x} = \iint_C \frac{\partial \psi}{\partial x} e^{-i\theta} \, dr \wedge d\theta \]
\[ \frac{\partial u}{\partial y} = \iint_C \frac{\partial \psi}{\partial y} e^{-i\theta} \, dr \wedge d\theta \]
根据 \(\frac{\partial f}{\partial \overline{z}}\) 的定义，我们有：
\[ \frac{\partial u}{\partial \overline{z}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial u}{\partial x} + i \frac{\partial u}{\partial y} \right) \]
现在我们需要将 \(\frac{\partial u}{\partial x}\) 和 \(\frac{\partial u}{\partial y}\) 代入到这个公式中：
\[ \frac{\partial u}{\partial \overline{z}} = \frac{1}{2} \left( \iint_C \frac{\partial \psi}{\partial x} e^{-i\theta} \, dr \wedge d\theta + i \iint_C \frac{\partial \psi}{\partial y} e^{-i\theta} \, dr \wedge d\theta \right) \]
由于积分区域相同，我们可以将积分合并：
\[ \frac{\partial u}{\partial \overline{z}} = \iint_C \left( \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \psi}{\partial x} + i \frac{\partial \psi}{\partial y} \right) e^{-i\theta} \right) \, dr \wedge d\theta \]
结合上面的算子定义，我们有：
\[ \frac{\partial u}{\partial \overline{z}} = \iint_C \left( \frac{\partial \psi}{\partial \overline{\zeta}} e^{-i\theta} \right) \, dr \wedge d\theta \]
现在，我们将 \(\zeta = z + re^{i\theta}\) 带入，并用 \(\frac{\partial \psi}{\partial \overline{\zeta}}\) 替换 \(\frac{\partial \psi}{\partial x}\) 和 \(\frac{\partial \psi}{\partial y}\) 的组合形式：
\[ \frac{\partial \psi}{\partial \overline{\zeta}} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial \psi}{\partial x} + i \frac{\partial \psi}{\partial y} \right) \]
最后，得到：
\[ \frac{\partial u}{\partial \overline{z}} = -\frac{1}{2\pi i} \iint_C \frac{\partial \psi}{\partial \overline{\zeta}} \frac{d\overline{\zeta} \wedge d\zeta}{\zeta - z} \]
这样我们就成功地将 \(\frac{\partial u}{\partial x}\) 和 \(\frac{\partial u}{\partial y}\) 组合成了 \(\frac{\partial u}{\partial \overline{z}}\) 的形式。
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