展开因子 \(\left(1+\frac{z-z_{0}}{{\zeta}-z_{0}}+\cdots\right)^{k+1}\)
给定等式：
\[ \frac{k!}{2\pi \mathrm{i}} \int_{\partial U} \frac{f\left({\zeta}\right)}{\left(\zeta-z_{0}\right)^{k+1}}\left(1+\frac{z-z_{0}}{{\zeta}-z_{0}}+\cdots\right)^{k+1} \mathrm{d}\zeta \]
我们要将其展开成：
\[ f^{(k)}\left(z_0\right) + \frac{\left(k\,+1\right)!}{2\pi \mathrm{i}} \int_{\partial U} \frac{f(\zeta)\left(z-z_{0}\right)}{\left( {\zeta}-z_{0}\right)^{k+2}} \mathrm{d}\zeta + O(|z-z_0|^2) \]
### 1. 因子的展开
首先，我们对因子 \(\left(1+\frac{z-z_{0}}{{\zeta}-z_{0}}+\cdots\right)^{k+1}\) 进行展开。这个因子可以被视为一个二项式展开：
\[ \left(1+\frac{z-z_{0}}{{\zeta}-z_{0}}\right)^{k+1} = 1 + (k+1) \frac{z-z_{0}}{{\zeta}-z_{0}} + \frac{(k+1)k}{2} \left(\frac{z-z_{0}}{{\zeta}-z_{0}}\right)^2 + \cdots \]
### 2. 代入积分
将这个展开代入积分中：
\[ \frac{k!}{2\pi \mathrm{i}} \int_{\partial U} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{k+1}} \left(1 + (k+1) \frac{z - z_0}{{\zeta} - z_0} + \frac{(k+1)k}{2} \left(\frac{z - z_0}{{\zeta} - z_0}\right)^2 + \cdots\right) \, d\zeta \]
### 3. 拆分积分
我们将积分拆分成多项：
\[ \frac{k!}{2\pi \mathrm{i}} \left( \int_{\partial U} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{k+1}} \, d\zeta + (k+1) (z - z_0) \int_{\partial U} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{k+1} ({\zeta} - z_0)} \, d\zeta + O((z - z_0)^2) \right) \]
### 4. 处理第一部分积分
第一部分积分是数学归纳法假定成立的结果：
\[ \frac{k!}{2\pi \mathrm{i}} \int_{\partial U} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{k+1}} \, d\zeta = f^{(k)}(z_0) \]
### 5. 处理第二部分积分
第二部分积分的被积函数可以简化为：
\[ \frac{(k+1)!}{2\pi \mathrm{i}} \int_{\partial U} \frac{f(\zeta) (z - z_0)}{(\zeta - z_0)^{k+2}} \, d\zeta \]
这一步通过将 \(\frac{1}{({\zeta} - z_0)}\) 视作一个常数来处理。
### 6. 组合结果
将两部分结果组合起来：
\[ f^{(k)}(z) = f^{(k)}(z_0) + \frac{(k+1)!}{2\pi \mathrm{i}} \int_{\partial U} \frac{f(\zeta) (z - z_0)}{(\zeta - z_0)^{k+2}} \, d\zeta + O((z - z_0)^2) \]
这个结果显示了 \( f^{(k)}(z) \) 在 \( z_0 \) 附近的展开，考虑到了积分项和误差项。