为了避免混淆，我们将参数化的曲线 \(\gamma\) 在 \(z\)-平面上的对应曲线用另一个变量表示。设 \(\Gamma\) 是 \(w\)-平面上的曲线，对应于 \(\gamma\) 在 \(z\)-平面上的曲线。 设 \( f(z) \) 是一个解析函数， \(\gamma\) 是一条围绕着区域 \( D \) 的光滑闭曲线。如果存在一个连续可微的映射 \( z = g(w) \)，其中 \( g'(w) \neq 0 \)，那么有： \[ \int_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{\Gamma} f(g(w)) g'(w) \, dw \] 其中 \(\Gamma\) 是 \( \gamma \) 在 \( w \)-平面上的对应曲线。

1. 定义复变换

设 \( z = g(w) \) 是从 \( w \)-平面到 \( z \)-平面的连续可微的映射，且其导数 \( g'(w) \neq 0 \)。

2. 参数化曲线

假设曲线 \(\gamma\) 是参数化的闭曲线，表示为 \( z = \gamma(t) \)，其中 \( t \) 在区间 \([a, b]\) 上变化，并且满足 \(\gamma(a) = \gamma(b)\)。我们将其对应的曲线 \(\Gamma\) 也参数化为 \( w = \Gamma(t) \)。

3. 曲线积分的定积分表示

曲线 \(\gamma\) 上的积分可以表示为定积分： \[ \int_{\gamma} f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t)) \gamma'(t) \, dt \]

4. 变量替换

我们希望通过变量替换 \( z = g(w) \) 来转换这个积分。由于 \( z = g(w) \)，我们可以得到 \( \gamma(t) = g(\Gamma(t)) \)，并且 \( dz = g'(\Gamma(t)) \Gamma'(t) \, dt \)。

5. 使用定积分换元法

我们现在应用定积分的换元法。设 \( w = \Gamma(t) \)，则 \( dw = \Gamma'(t) dt \)，并且 \( dz = g'(\Gamma(t)) \Gamma'(t) \, dt \)。因此， \[ \int_{\gamma} f(z) \, dz = \int_a^b f(g(\Gamma(t))) g'(\Gamma(t)) \Gamma'(t) \, dt \] 其中 \(\Gamma(t)\) 是 \( w \)-平面的参数化曲线。

6. 重新表达积分

根据定积分的换元法，我们有： \[ \int_a^b f(g(\Gamma(t))) g'(\Gamma(t)) \Gamma'(t) \, dt = \int_{\Gamma} f(g(w)) g'(w) \, dw \] 其中 \(\Gamma\) 是 \( w \)-平面上的曲线。

7. 最终结论

因此，我们证明了通过复变量的换元法，将复变函数的积分从一个变量 \( z \) 转换到另一个变量 \( w \) 的过程： \[ \int_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{\Gamma} f(g(w)) g'(w) \, dw \] 这个换元法在处理复变函数积分时非常有用，尤其是当 \( z \) 和 \( w \) 之间的关系可以简化积分计算时。

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