定理陈述

证明过程

1. 设定条件：

   • 设 \( f \) 是定义在开集 \( U \) 上的全纯函数。
   • 存在点 \( z_0 \in U \)，并且 \( f \) 在包含 \( z_0 \) 的任意小邻域 \( V \) 上恒为零。

2. 构造零点集：

   • 设 \( Z = \{ z \in U \mid f(z) = 0 \} \) 是 \( f \) 的零点集。
   • 根据假设，\( z_0 \in Z \) 且 \( Z \) 包含 \( z_0 \) 的任意小邻域。

3. 证明 Z 是开集：

   • 由于 \( f \) 在 \( U \) 上全纯，\( f \) 在 \( z_0 \) 的幂级数展开为 \[ f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - z_0)^n. \]
   • 由于 \( f \) 在 \( z_0 \) 的邻域内恒为零，所以 \( a_n = 0 \) 对所有 \( n \) 成立。因此，\( f(z) = 0 \) 在 \( z_0 \) 的邻域内。
   • 因此，\( z_0 \) 的某个邻域是 \( Z \) 的子集，这表明 \( Z \) 是一个开集。

4. 证明 Z 是闭集：

   • 设 \( z \) 是 \( Z \) 的极限点，即存在 \( z_n \in Z \) 使得 \( z_n \to z \)。
   • 由于 \( f \) 在 \( U \) 上全纯且连续，因此 \( f(z_n) = 0 \) 且 \( z_n \to z \) 时，\( f(z) = \lim_{n \to \infty} f(z_n) = 0 \)。
   • 所以，\( z \in Z \)，这表明 \( Z \) 是闭集。

5. 结论：

   • 由于 \( Z \) 既是开集又是闭集，并且 \( U \) 是连通集，根据拓扑学中的分类，\( Z \) 必须是 \( U \) 的整个开集，即 \( Z = U \)。
   • 因此，\( f \) 在 \( U \) 上恒为零。

结论

通过以上证明，我们可以得出结论：如果一个全纯函数在一个开集的任意小邻域上恒为零，那么它在整个开集上恒为零。 并由此可推出一个全纯函数在一个开集的任意小领域上恒为常数，则在整个开集上恒为常数。