证明过程

1. 设定与假设：

   • 给定一个开集 \(\Omega \subset \mathbb{C}\)。
   • \(u\) 是 \(\Omega\) 上的一个 \(C^2\) 函数，并满足拉普拉斯方程 \(u_{xx} + u_{yy} = 0\)，即 \(u\) 是调和函数。
   • 定义 \(w = -u_y dx + u_x dy\)，这是一个1-形式。

2. 证明 \(\int_\gamma w\) 与路径无关 ：

   • 考虑两个点 \(z_0, z_1 \in \Omega\)，以及连接这两个点的两条不同路径 \(\gamma_1\) 和 \(\gamma_2\)。
   • 这两条路径形成一个闭曲线 \(\Gamma = \gamma_1 - \gamma_2\)。
   • 应用格林公式（或更一般的 Stokes 公式）： \[ \int_{\Gamma} w = \int_{\gamma_1} w - \int_{\gamma_2} w = \iint_{\text{区域}} dw \]
   • 由于 \(w = -u_y dx + u_x dy\)，我们计算其外导数： \[ dw = d(-u_y dx + u_x dy) = -u_{yy} dx \wedge dy + u_{xx} dx \wedge dy = (u_{xx} + u_{yy}) dx \wedge dy \]
   • 由于 \(u_{xx} + u_{yy} = 0\)，所以 \(dw = 0\)。
   • 因此： \[ \iint_{\text{区域}} dw = 0 \implies \int_{\gamma_1} w = \int_{\gamma_2} w \]
   • 这证明了 \(\int_\gamma w\) 与路径无关，只取决于端点 \(z_0\) 和 \(z_1\)。

3. 定义函数 (v(z))：

   • 由于 \(\int_\gamma w\) 与路径无关，我们可以定义函数 \(v(z)\)： \[ v(z) = \int_{z_0}^{z} w \]
   • 这个定义使得 \(v(z)\) 是沿从 \(z_0\) 到 \(z\) 的任何路径积分 \(w\) 的结果。

4. 验证 (v(z)) 满足 Cauchy-Riemann 方程：

   • 计算 \(v\) 的偏导数： \[ \frac{\partial v}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \int_{z_0}^{z} w \right) = -u_y \] \[ \frac{\partial v}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \int_{z_0}^{z} w \right) = u_x \]
   • 检查 Cauchy-Riemann 方程： \[ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \quad \text{和} \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \] 这正是 \(u\) 和 \(v\) 的偏导数关系。由已知条件u是\( C^2(\Omega) \)的，由C-R方程得出 v也是 \(C^2(\Omega) \) 的元素

5. 构造全纯函数 (f)：

   • 定义复函数 \(f = u + iv\)。
   • 由于 \(u\) 和 \(v\) 满足 Cauchy-Riemann 方程，并且 \(u\) 和 \(v\) 都是 \(C^2(\Omega)\) 的函数，所以 \(f\) 是 \(\Omega\) 上的全纯函数。

结论

• 从上述步骤可以看出，如果 \(u\) 是 \(\Omega\) 上的一个调和函数，那么存在一个全纯函数 \(f = u + iv\) 满足 \(u = \Re(f)\)。