定义和关系

1. \( C^\infty(\Omega) \) ：

   • 这个符号表示定义在开集 \(\Omega \subseteq \mathbb{C}\) 上的所有光滑（无限可微）复函数的集合。
   • 这些函数在其定义域内的每一点都具有任意阶的连续偏导数。

2. \( H(\Omega) \) ：

   • 这个符号表示定义在开集 \(\Omega \subseteq \mathbb{C}\) 上的所有全纯函数的集合。
   • 一个函数 \( f \) 是全纯的，如果它在 \(\Omega\) 的每一点都是复变函数的解析函数，即在每一点都有定义并且满足柯西-黎曼方程。

子集关系

• 包含关系：
  • 每一个全纯函数都是光滑函数，因为全纯函数的连续性以及满足柯西-黎曼方程的性质确保了它们在其定义域内的任意阶偏导数都是连续的。
  • 因此，\( H(\Omega) \subseteq C^\infty(\Omega) \)。
  • 也就是说，\( H(\Omega) \) 是 \( C^\infty(\Omega) \) 的一个子集，因为全纯函数是光滑的，但反过来并不成立，即 \( C^\infty(\Omega) \) 中的每个函数不一定是全纯的。

例子和补充

• 全纯函数（即 \( H(\Omega) \) 中的函数） ：

  • 例如 \( f(z) = e^z \) 和 \( f(z) = \sin(z) \) 都是全纯的，因为它们在复平面上解析，且在其定义域内任意阶的偏导数都是连续的。

• 光滑函数但非全纯的函数：

  • 例如 \( f(z) = \bar{z} \) 在复平面上是光滑的，但它不是全纯的，因为它不满足柯西-黎曼方程。

结论