复函数在孤立奇点 \( z_0 \) 和无穷远点的洛朗级数形式。
在 \( z_0 \) 点的孤立奇点
设复函数 \( f(z) \) 在 \( z_0 \) 点有孤立奇点，则 \( f(z) \) 可以在 \( z_0 \) 点的一个环域内展开为洛朗级数：
\[ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n (z-z_0)^n \]其中，系数 \( c_n \) 由以下公式给出：
\[ c_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{n+1}} \, d\zeta \]其中，\(\gamma\) 是包含 \( z_0 \) 点的一个环路。
特殊情形：
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可去奇点： 如果存在 \( m \) 使得 \( c_n = 0 \) 对于所有 \( n < 0 \) ，则 \( z_0 \) 是可去奇点。此时洛朗级数退化为泰勒级数： \[ f(z) = c_0 + c_1(z-z_0) + c_2(z-z_0)^2 + c_3(z-z_0)^3 + \cdots \]
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极点： 如果存在 \( m \in \mathbb{N} \) 使得 \( c_n = 0 \) 对于所有 \( n < -m \) ，则 \( z_0 \) 是一个阶数为 \( m \) 的极点。此时洛朗级数形式为： \[ f(z) = \frac{c_{-m}}{(z-z_0)^m} + \frac{c_{-(m-1)}}{(z-z_0)^{m-1}} + \cdots + \frac{c_{-1}}{(z-z_0)} + c_0 + c_1(z-z_0) + c_2(z-z_0)^2 + \cdots \]
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本性奇点： 如果 \( c_n \) 在 \( n \) 为负的情况下无限多非零，则 \( z_0 \) 是本性奇点。此时洛朗级数的负幂部分无限延展： \[ f(z) = \cdots + \frac{c_{-3}}{(z-z_0)^3} + \frac{c_{-2}}{(z-z_0)^2} + \frac{c_{-1}}{(z-z_0)} + c_0 + c_1(z-z_0) + c_2(z-z_0)^2 + \cdots \]
在无穷远点的孤立奇点
考虑 \( z \) 在无穷远点的情形。我们用 \( \zeta = \frac{1}{z} \) 进行变换，将无穷远点映射到原点。于是函数 \( f(z) \) 在无穷远点的行为可通过 \( F(\zeta) = f\left(\frac{1}{\zeta}\right) \) 在 \( \zeta = 0 \) 处的行为来研究。
函数 \( f(z) \) 在 \( z = \infty \) 处的洛朗级数展开为：
\[ f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} c_n z^n \]其中，系数 \( c_n \) 由以下公式给出：
\[ c_n = \frac{1}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f\left(\frac{1}{\zeta}\right)}{\zeta^{n+1}} \, d\zeta \]其中，\(\gamma\) 是包含 \( \zeta = 0 \) 点的一个环路。
特殊情形：
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可去奇点： 如果存在 \( m \) 使得 \( c_n = 0 \) 对于所有 \( n > 0 \) ，则 \( z = \infty \) 是可去奇点。此时洛朗级数退化为负次幂形式： \[ f(z) = \cdots + \frac{c_{-3}}{z^3} + \frac{c_{-2}}{z^2} + \frac{c_{-1}}{z} + c_0 \]
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极点： 如果存在 \( m \in \mathbb{N} \) 使得 \( c_n = 0 \) 对于所有 \( n > m \) ，则 \( z = \infty \) 是一个阶数为 \( m \) 的极点。此时洛朗级数形式为： \[ f(z) = c_m z^m + c_{m-1} z^{m-1} + \cdots + c_1 z + c_0 + \frac{c_{-1}}{z} + \frac{c_{-2}}{z^2} + \cdots \]
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本性奇点： 如果 \( c_n \) 在 \( n \) 为正的情况下无限多非零，则 \( z = \infty \) 是本性奇点。此时洛朗级数的正幂部分无限延展： \[ f(z) = \cdots + c_2 z^2 + c_1 z + c_0 + \frac{c_{-1}}{z} + \frac{c_{-2}}{z^2} + \cdots \]
结论
在分析复函数的孤立奇点时，洛朗级数提供了一种强有力的工具来揭示函数在奇点附近的行为。通过分辨洛朗级数的不同形式，我们可以识别奇点的类型并进一步分析函数的特性。