对于一阶或可去极点的留数计算，留数的公式依赖于该极点的特性。以下是详细的解释：
1. 简单极点（一级极点）的留数
如果 \(z = a\) 是函数 \(f(z)\) 的一个简单极点（也称一级极点），那么在 \(z = a\) 处，\(f(z)\) 可以写成以下形式：
\[ f(z) = \frac{g(z)}{z - a} \]其中 \(g(z)\) 在 \(z = a\) 处解析且非零。
在这种情况下，\(f(z)\) 在 \(z = a\) 处的留数可以通过以下极限来计算：
\[ \text{Res}(f, a) = \lim_{z \to a} (z - a) f(z) \]通过将 \(f(z)\) 的表达式代入，我们有：
\[ \text{Res}(f, a) = \lim_{z \to a} (z - a) \frac{g(z)}{z - a} = \lim_{z \to a} g(z) = g(a) \]因为 \(g(z)\) 在 \(z = a\) 处是解析的，所以 \(g(a)\) 存在且有限。这个极限实际上给出了 \(f(z)\) 在 \(z = a\) 处的留数。
2. 可去奇点
如果 \(z = a\) 是函数 \(f(z)\) 的一个可去奇点，那么 \(f(z)\) 可以在 \(z = a\) 处解析延拓为一个解析函数。在这种情况下，函数 \(f(z)\) 在 \(z = a\) 处的留数为零。可以这样理解：如果 \(f(z)\) 在 \(z = a\) 处是可去奇点，那么 \(f(z)\) 在 \(z = a\) 处的极限是有限的，且可以通过重定义 \(f(a)\) 使得 \(f(z)\) 在整个区域内解析，因此其留数为零。
3. 解析函数在一级极点或可去奇点处的留数计算
对于解析函数 \(f(z)\) ，如果 \(z = a\) 是一级极点或可去奇点，其留数可以通过以下极限来计算：
\[ \text{Res}(f, a) = \lim_{z \to a} (z - a) f(z) \]这种情况适用于以下两种情况：
- 如果 \(z = a\) 是一级极点，则上式给出 \(g(a)\) ，这是函数 \(f(z)\) 在 \(z = a\) 处的留数。
- 如果 \(z = a\) 是可去奇点，则 \(f(z)\) 在 \(z = a\) 处解析，因此上式为零，表示留数为零。
例子
- 一级极点的例子：
考虑函数 \(f(z) = \frac{1}{z - 1}\) 。这是一个在 \(z = 1\) 处的一级极点。计算留数：
\[ \text{Res}(f, 1) = \lim_{z \to 1} (z - 1) \frac{1}{z - 1} = \lim_{z \to 1} 1 = 1 \]- 可去奇点的例子：
考虑函数 \(f(z) = \frac{\sin(z)}{z}\) 。虽然在 \(z = 0\) 处看起来是一个奇点，但实际上是一个可去奇点，因为：
\[ f(z) = \frac{\sin(z)}{z} \]可以在 \(z = 0\) 处重定义为 \(f(0) = 1\) 使得 \(f(z)\) 在整个复平面上解析。因此，留数为零：
\[ \text{Res}(f, 0) = \lim_{z \to 0} (z - 0) \frac{\sin(z)}{z} = \lim_{z \to 0} \sin(z) = 0 \]