用留数定理来计算 \(\int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{5 + 4 \cos \theta}\)
为此，我们需要将积分转化为复平面的积分，并利用复变函数理论。我们将使用复平面上的变量 \( z = e^{i\theta} \) ，从而将积分从 \(\theta\) 的积分转化为 \(z\) 的积分。
步骤1：用复数表示 \(\cos \theta\)
我们知道 \( \cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \) 。因此，我们可以将积分改写为：
\[ \cos \theta = \frac{z + \frac{1}{z}}{2} \]其中 \( z = e^{i\theta} \) ，所以 \( dz = ie^{i\theta} d\theta = iz d\theta \) 。那么 \( d\theta = \frac{dz}{iz} = \frac{dz}{iz} \) 。
步骤2：将积分变量替换为 \(z\)
将 \( \cos \theta \) 和 \( d\theta \) 代入原积分：
\[ \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{5 + 4 \cos \theta} = \int_{|z|=1} \frac{\frac{dz}{iz}}{5 + 4 \left( \frac{z + \frac{1}{z}}{2} \right)} \]进一步简化：
\[ \int_{|z|=1} \frac{\frac{dz}{iz}}{5 + 2 \left( z + \frac{1}{z} \right)} = \int_{|z|=1} \frac{\frac{dz}{iz}}{5 + 2z + \frac{2}{z}} \]我们可以将分母整理为一个分数：
\[ \int_{|z|=1} \frac{\frac{dz}{iz}}{5 + 2z + \frac{2}{z}} = \int_{|z|=1} \frac{\frac{dz}{iz}}{\frac{5z + 2z^2 + 2}{z}} = \int_{|z|=1} \frac{dz}{iz} \cdot \frac{z}{5z + 2z^2 + 2} = \int_{|z|=1} \frac{dz}{i(5z + 2z^2 + 2)} \]进一步简化为：
\[ \int_{|z|=1} \frac{dz}{i(2z^2 + 5z + 2)} \]步骤3：寻找极点并计算留数
我们需要找到 \(2z^2 + 5z + 2\) 的根，这些根就是积分的极点：
\[ 2z^2 + 5z + 2 = 0 \implies z = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{-5 \pm 3}{4} \]所以：
\[ z = -\frac{1}{2}, \quad z = -2 \]这两个根中只有一个在单位圆内，即 \(z = -\frac{1}{2}\) 。
步骤4：计算留数
我们计算 \(z = -\frac{1}{2}\) 处的留数。首先，我们需要分母的导数：
\[ f(z) = \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)} \]在 \(z = -\frac{1}{2}\) 处的留数为：
\[ \text{Res}\left( \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)}, -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{i \cdot f'(-\frac{1}{2})} \]我们需要计算分母的导数：
\[ g(z) = 2z^2 + 5z + 2, \quad g'(z) = 4z + 5 \]所以在 \(z = -\frac{1}{2}\) 处：
\[ g'\left( -\frac{1}{2} \right) = 4 \left( -\frac{1}{2} \right) + 5 = -2 + 5 = 3 \]因此，在 \(z = -\frac{1}{2}\) 处的留数为：
\[ \text{Res}\left( \frac{1}{i(2z^2 + 5z + 2)}, -\frac{1}{2} \right) = \frac{1}{i \cdot 3} = \frac{1}{3i} \]步骤5：应用留数定理
根据留数定理，积分等于单位圆内极点的留数乘以 \(2\pi i\) ：
\[ \int_{|z|=1} \frac{dz}{i(2z^2 + 5z + 2)} = 2\pi i \cdot \frac{1}{3i} = \frac{2\pi}{3} \]步骤6：总结
所以，原积分的值为：
\[ \int_0^{2\pi} \frac{d\theta}{5 + 4 \cos \theta} = \frac{2\pi}{3} \]这就是所求积分的值。