我们要证明，如果 \( f(z) \) 是一个全纯函数，那么 \( \overline{f(\overline{z})} \) 也是一个全纯函数。
定义和性质
首先，回顾一些定义和性质：
- 全纯函数（Holomorphic function）：函数 \( f(z) \) 在一个复变量 \( z \) 的区域 \( D \) 上全纯，如果在该区域内的每一点 \( z \) 上，函数 \( f(z) \) 都是可导的。这也意味着 \( f \) 满足Cauchy-Riemann方程：
其中 \( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) \) ，\( z = x + iy \) ，\( u \) 和 \( v \) 分别是 \( f \) 的实部和虚部。
- 复共轭（Complex conjugate）：对于一个复数 \( z = x + iy \) ，它的复共轭为 \( \overline{z} = x - iy \) 。
证明步骤
设 \( f(z) \) 是在区域 \( D \) 上的全纯函数。我们需要证明 \( \overline{f(\overline{z})} \) 也是全纯的。
令 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) ，其中 \( z = x + iy \) ，则
\[ \overline{f(\overline{z})} = \overline{f(x - iy)}. \]现在考虑 \( f(x - iy) \) :
\[ f(x - iy) = u(x, -y) + iv(x, -y). \]因此，
\[ \overline{f(x - iy)} = \overline{u(x, -y) + iv(x, -y)} = u(x, -y) - iv(x, -y). \]我们要证明的是这个函数在 \( z \) 上也是全纯的。令
\[ g(z) = \overline{f(\overline{z})} = u(x, -y) - iv(x, -y), \]其中 \( z = x + iy \) 。我们需要检查 \( g(z) \) 是否满足Cauchy-Riemann方程。
检查Cauchy-Riemann方程
设 \( g(z) = \phi(x, y) + i\psi(x, y) \) ，那么
\[ \phi(x, y) = u(x, -y), \quad \psi(x, y) = -v(x, -y). \]现在我们计算 \(\phi\) 和 \(\psi\) 的偏导数，并验证是否满足Cauchy-Riemann方程。
\[ \frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial u(x, -y)}{\partial x}, \quad \frac{\partial \phi}{\partial y} = \frac{\partial u(x, -y)}{\partial (-y)} \cdot \frac{\partial (-y)}{\partial y} = -\frac{\partial u(x, -y)}{\partial (-y)}, \] \[ \frac{\partial \psi}{\partial x} = -\frac{\partial v(x, -y)}{\partial x}, \quad \frac{\partial \psi}{\partial y} = -\frac{\partial v(x, -y)}{\partial (-y)} \cdot \frac{\partial (-y)}{\partial y} = \frac{\partial v(x, -y)}{\partial (-y)}. \]由 \( f(z) \) 的全纯性可知，\( u \) 和 \( v \) 满足Cauchy-Riemann方程：
\[ \frac{\partial u(x, -y)}{\partial x} = \frac{\partial v(x, -y)}{\partial (-y)}, \quad \frac{\partial u(x, -y)}{\partial (-y)} = -\frac{\partial v(x, -y)}{\partial x}. \]将其代入前面的结果：
\[ \frac{\partial \phi}{\partial x} = \frac{\partial v(x, -y)}{\partial (-y)} = \frac{\partial \psi}{\partial y}, \] \[ \frac{\partial \phi}{\partial y} = -\frac{\partial u(x, -y)}{\partial (-y)} = \frac{\partial v(x, -y)}{\partial x} = -\frac{\partial \psi}{\partial x}. \]这正是Cauchy-Riemann方程的形式，因此，函数 \( g(z) = \overline{f(\overline{z})} \) 满足Cauchy-Riemann方程，并且在 \( D \) 上是全纯的。