要证明 \( w = i \frac{z - z_0}{z_1 - z} \) 是实数，我们可以使用几何和代数方法结合来进行分析。
场景描述
- 设有一个圆，圆心为 \(\alpha\) ，且 \(z_0\) 和 \(z_1\) 是圆周上的两个点，它们形成一条直径。
- 圆周上的任意点 \(z\) 可以用参数形式表示为 \( z = \alpha + e^{i\theta}(z_0 - \alpha) \) ，其中 \(\theta \in [\theta_1, \theta_2]\) 。
几何背景
- 根据题意，\(z_0\) 和 \(z_1\) 是圆的直径的两端点。
- 由上一部分的结论，\(z_1\) 可以表示为 \( z_1 = 2\alpha - z_0 \) 。
证明 \( w \) 是实数
现在计算 \( w \) 并证明它是实数：
\[ w = i \frac{z - z_0}{z_1 - z} \]首先，代入 \(z = \alpha + e^{i\theta}(z_0 - \alpha)\) 并利用 \(z_1 = 2\alpha - z_0\) :
\[ z - z_0 = \alpha + e^{i\theta}(z_0 - \alpha) - z_0 = \alpha - z_0 + e^{i\theta}(z_0 - \alpha) \] \[ z_1 - z = (2\alpha - z_0) - (\alpha + e^{i\theta}(z_0 - \alpha)) = \alpha - z_0 - e^{i\theta}(z_0 - \alpha) \]因此：
\[ \frac{z - z_0}{z_1 - z} = \frac{\alpha - z_0 + e^{i\theta}(z_0 - \alpha)}{\alpha - z_0 - e^{i\theta}(z_0 - \alpha)} \]化简分子和分母
设 \( z_0 - \alpha = r e^{i\phi} \) ，其中 \(r = |z_0 - \alpha|\) 是半径，\(\phi\) 是初始相位角。
那么：
\[ z - z_0 = \alpha - z_0 + e^{i\theta} (z_0 - \alpha) = -r e^{i\phi} + r e^{i(\theta + \phi)} \] \[ z_1 - z = \alpha - z_0 - e^{i\theta} (z_0 - \alpha) = -r e^{i\phi} - r e^{i(\theta + \phi)} \]所以：
\[ \frac{z - z_0}{z_1 - z} = \frac{-r e^{i\phi} + r e^{i(\theta + \phi)}}{-r e^{i\phi} - r e^{i(\theta + \phi)}} = \frac{e^{i(\theta + \phi)} - e^{i\phi}}{e^{i\phi} + e^{i(\theta + \phi)}} \]简化表达式
设 \(a = e^{i\phi}\) ，则：
\[ \frac{z - z_0}{z_1 - z} = \frac{e^{i\theta} a - a}{a + e^{i\theta} a} = \frac{a(e^{i\theta} - 1)}{a(1 + e^{i\theta})} = \frac{e^{i\theta} - 1}{1 + e^{i\theta}} \]因此：
\[ w = i \frac{z - z_0}{z_1 - z} = i \frac{e^{i\theta} - 1}{1 + e^{i\theta}} \]证明 \( w \) 是实数
接下来，我们将分子和分母写成实部和虚部的形式，并证明该表达式是实数。考虑：
\[ e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta \] \[ 1 + e^{i\theta} = 1 + \cos\theta + i\sin\theta \] \[ e^{i\theta} - 1 = \cos\theta + i\sin\theta - 1 \]计算 \( w \)
\[ w = i \frac{(\cos\theta - 1) + i\sin\theta}{1 + \cos\theta + i\sin\theta} \]要证明 \( w \) 是实数，我们需要证明 \( \text{Im}(w) = 0 \) ：
\[ w = i \frac{(\cos\theta - 1) + i\sin\theta}{1 + \cos\theta + i\sin\theta} \]我们先将其乘以分母的共轭来简化：
\[ w = i \frac{(\cos\theta - 1) + i\sin\theta}{1 + \cos\theta + i\sin\theta} \cdot \frac{1 + \cos\theta - i\sin\theta}{1 + \cos\theta - i\sin\theta} \]分母：
\[ (1 + \cos\theta + i\sin\theta)(1 + \cos\theta - i\sin\theta) = (1 + \cos\theta)^2 - (\sin\theta)^2 = 1 + 2\cos\theta + \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2 + 2\cos\theta \]分子：
\[ ((\cos\theta - 1) + i\sin\theta)(1 + \cos\theta - i\sin\theta) = (\cos\theta - 1)(1 + \cos\theta) - \sin^2\theta + i[\sin\theta(1 + \cos\theta) + \sin\theta(1 - \cos\theta)] \] \[ = \cos\theta - 1 + \cos^2\theta - \cos\theta - \sin^2\theta + i[2\sin\theta] \] \[ = \cos^2\theta - 1 - \sin^2\theta + i[2\sin\theta] \] \[ = -(\sin^2\theta + \cos^2\theta - 1) + i[2\sin\theta] \] \[ = -(1 - 1) + i[2\sin\theta] = i[2\sin\theta] \]因此：
\[ w = i \frac{i[2\sin\theta]}{2 + 2\cos\theta} = \frac{-2\sin\theta}{2 + 2\cos\theta} = \frac{-\sin\theta}{1 + \cos\theta} \]这是一个实数，因为表达式的分子和分母都是实数。因此，我们证明了 \( w \) 是实数。