\( f(z) = \frac{1}{1 - z} \) 在极坐标表示下 \( z = r e^{i \theta} \) 的形式
要证明 \( f(z) = \frac{1}{1 - z} \) 在极坐标表示下 \( z = r e^{i \theta} \) 的形式，可以先将 \( z \) 代入 \( f(z) \)，然后将结果表示为实部和虚部的形式。
1. 将 \( z = r e^{i \theta} \) 代入 \( f(z) = \frac{1}{1 - z} \)
首先，记住 \( z = r e^{i \theta} = r (\cos \theta + i \sin \theta) \)。代入到 \( f(z) \) 中：
\[
f(z) = \frac{1}{1 - z} = \frac{1}{1 - r (\cos \theta + i \sin \theta)}
\]
2. 化简分母
\[
1 - r (\cos \theta + i \sin \theta) = 1 - r \cos \theta - i r \sin \theta
\]
3. 分母的复共轭
接下来，我们乘以分母的复共轭：
\[
(1 - r \cos \theta - i r \sin \theta)(1 - r \cos \theta + i r \sin \theta) = (1 - r \cos \theta)^2 + (r \sin \theta)^2
\]
展开并简化：
\[
(1 - r \cos \theta)^2 + r^2 \sin^2 \theta = 1 - 2r \cos \theta + r^2 \cos^2 \theta + r^2 \sin^2 \theta
\]
由于 \(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1\)，所以：
\[
1 - 2r \cos \theta + r^2
\]
4. 将分母复共轭相乘
现在，分母乘以其共轭后的结果是：
\[
(1 - r \cos \theta)^2 + (r \sin \theta)^2 = 1 + r^2 - 2r \cos \theta
\]
5. 分子与分母同乘复共轭
我们将分子和分母同时乘以 \(1 - r \cos \theta + i r \sin \theta\)，得到：
\[
f(z) = \frac{1 - r \cos \theta + i r \sin \theta}{1 + r^2 - 2r \cos \theta}
\]
6. 分离实部和虚部
将分母进行归一化，得到：
\[
f(z) = \frac{1 - r \cos \theta}{1 + r^2 - 2r \cos \theta} + i \frac{r \sin \theta}{1 + r^2 - 2r \cos \theta}
\]
7. 验证
因此，得出 \( f(z) = u(r e^{i \theta}) + i v(r e^{i \theta}) \) 的形式：
\[
u(r e^{i \theta}) = \frac{1 - r \cos \theta}{1 + r^2 - 2r \cos \theta}
\]
\[
v(r e^{i \theta}) = \frac{r \sin \theta}{1 + r^2 - 2r \cos \theta}
\]
这证明了给定的形式是正确的。
\[
f(r e^{i \theta}) = \left[\frac{1 - r \cos \theta}{1 + r^2 - 2r \cos \theta}\right] + i \left[\frac{r \sin \theta}{1 + r^2 - 2r \cos \theta}\right]
\]
这个结果表示了函数 \( f(z) \) 在极坐标下的实部和虚部。