若直线L不经过K的中心q , 则它对 K 的反演把 L 映为一个经过 q 的圆周. 并且不依赖于 K

定义和给定的信息

1. 关于圆 K 的反演：

   • 设 \(K\) 是一个以 \(q\) 为圆心、半径为 \(R\) 的圆。
   • 点 \(z\) 关于圆 \(K\) 的反演记为 \(\mathcal{I}_K(z)\)，其公式为： \[ \mathcal{I}_K(z) = q + \frac{R^2}{|z - q|^2} (z - q) \]

2. 给定的符号和点：

   • 设 z 是任意点。
   • \(\tilde{z}_1 = \mathcal{I}_{K_1}(z)\)：这是点 \(z\) 关于以 \(q\) 为圆心、半径为 \(R_1\) 的圆 \(K_1\) 的反演。
   • \(\tilde{z}_2 = \mathcal{I}_{K_2}(z)\)：这是点 \(z\) 关于以 \(q\) 为圆心、半径为 \(R_2\) 的圆 \(K_2\) 的反演。

关键概念

• \(\tilde{z}_1\) 和 \(\tilde{z}_2\) 都在通过 \(q\) 和 \(z\) 的直线上，它们到 \(q\) 的距离与圆 \(K_1\) 和 \(K_2\) 的半径有关。

距离比率

为了展示距离 \([q \tilde{z}_2] / [q \tilde{z}_1]\) 独立于 \(z\) 的位置，我们明确计算这些距离。

1. 距离 \(|\tilde{z}_1 - q|\) ： \[ |\tilde{z}_1 - q| = \left| q + \frac{R_1^2}{|z - q|^2} (z - q) - q \right| = \frac{R_1^2}{|z - q|} \]

2. 距离 \(|\tilde{z}_2 - q|\) ： \[ |\tilde{z}_2 - q| = \left| q + \frac{R_2^2}{|z - q|^2} (z - q) - q \right| = \frac{R_2^2}{|z - q|} \]

3. 距离比率： \[ \frac{|\tilde{z}_2 - q|}{|\tilde{z}_1 - q|} = \frac{\frac{R_2^2}{|z - q|}}{\frac{R_1^2}{|z - q|}} = \frac{R_2^2}{R_1^2} \] 设 \(k = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^2\)，那么： \[ \frac{|\tilde{z}_2 - q|}{|\tilde{z}_1 - q|} = k \] 这个比率 \(k\) 与点 \(z\) 的位置无关。

结论

由于距离比率是常数 \(k\)，所以关于圆 \(K_2\) 的反演可以表示为关于圆 \(K_1\) 的反演，再加上一个以 \(q\) 为中心、比例为 \(k\) 的放缩。因此，我们有： \[ \mathcal{I}_{K_2} = \mathcal{D}_q^k \circ \mathcal{I}_{K_1} \] 其中 \(\mathcal{D}_q^k\) 是以 \(q\) 为中心、比例为 \(k\) 的放缩变换。

总结

这个组合 \(\mathcal{I}_{K_2} = \mathcal{D}_q^k \circ \mathcal{I}_{K_1}\) 表明关于 \(K_2\) 的反演可以看作是关于 \(K_1\) 的反演，再加上一个缩放变换。这种关系是由于反演的几何性质和任意点 \(z\) 到中心 \(q\) 的固定距离比率所致。

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