在复平面上关于单位圆的反演和黎曼球面上关于赤道平面的反射之间存在深刻的联系。这种联系可以通过复分析中的**立体投影（stereographic projection）**来理解。让我们详细探讨一下这个问题。
立体投影
立体投影是一种将复平面和黎曼球面相互映射的方法。黎曼球面是一个球面，通常设定为单位球，球心在原点，其方程为 (x^2 + y^2 + z^2 = 1)。立体投影将复平面的点（包括无穷远点）映射到黎曼球面上的点，反之亦然。
从复平面到黎曼球面的投影
考虑从复平面到黎曼球面的立体投影。设复平面上的点 \( z = x + iy \)，则其立体投影为黎曼球面上的点 \( (X, Y, Z) \)，其中： \[ (X, Y, Z) = \left( \frac{2x}{|z|^2 + 1}, \frac{2y}{|z|^2 + 1}, \frac{|z|^2 - 1}{|z|^2 + 1} \right) \] 其中 \( |z| \) 是复数 \( z \) 的模。从黎曼球面到复平面的投影
逆变换，即从黎曼球面到复平面的投影，设球面上的点 \( (X, Y, Z) \)，其投影到复平面的点 \( z \) 为： \[ z = \frac{X + iY}{1 - Z} \]单位圆的反演和黎曼球面赤道的反射
现在我们来探讨为什么复平面上关于单位圆的反演诱导出黎曼球面关于赤道平面的反射。
单位圆的反演
在复平面上，关于单位圆 \( |z| = 1 \) 的反演定义为： \[ z' = \frac{1}{\overline{z}} \] 这意味着复平面上的每个点 \( z \) 都被映射到另一个点 \( z' \)，使得 \( |z| \cdot |z'| = 1 \)。赤道平面的反射
黎曼球面的赤道是 \( Z = 0 \) 平面上的圆周，即 \( x^2 + y^2 = 1 \) 的点。黎曼球面上关于赤道平面的反射是指将球面上 \( Z > 0 \) 的点映射到 \( Z < 0 \) 的点，反之亦然。这种反射可以写成： \[ (X, Y, Z) \mapsto (X, Y, -Z) \]联系：通过立体投影
立体投影在复平面和黎曼球面之间建立了一一对应的关系：
- 复平面上关于单位圆的反演 \( z \mapsto \frac{1}{\overline{z}} \)。
- 通过立体投影，这对应于黎曼球面上的点 \( (X, Y, Z) \) 和 \( (X, Y, -Z) \) 之间的映射。 这种映射反映了复平面上单位圆的反演如何在黎曼球面上转换为关于赤道平面的反射。直观上，这意味着在复平面上单位圆内部的点通过反演变换到单位圆外部的点，而这种变换在黎曼球面上表现为球面上北半球（\( Z > 0 \)）的点被映射到南半球（\( Z < 0 \)）的对应点。
总结
通过立体投影，复平面上关于单位圆的反演可以看作是黎曼球面上关于赤道平面的反射。这种变换保持了复平面和黎曼球面之间的几何对应关系，使得复杂的复平面变换可以在更简单的球面几何上得到直观解释。
要证明复平面上关于单位圆的反演对应于黎曼球面上关于赤道平面的反射，我们需要使用立体投影。立体投影将复平面上的点映射到黎曼球面上的点，并且可以反过来映射。这种映射是双射的，我们将用这种映射来证明两者之间的联系。
1. 从复平面到黎曼球面的立体投影
立体投影将复平面上的点 \( z \) 映射到黎曼球面上的点 \( (X, Y, Z) \)，公式如下： \[ (X, Y, Z) = \left( \frac{2 \text{Re}(z)}{|z|^2 + 1}, \frac{2 \text{Im}(z)}{|z|^2 + 1}, \frac{|z|^2 - 1}{|z|^2 + 1} \right) \]2. 从黎曼球面到复平面的逆立体投影
逆立体投影将黎曼球面上的点 \( (X, Y, Z) \) 映射到复平面上的点 \( z \)，公式如下： \[ z = \frac{X + iY}{1 - Z} \]3. 单位圆的反演
在复平面上，关于单位圆 \( |z| = 1 \) 的反演定义为： \[ z' = \frac{1}{\overline{z}} \] 我们需要证明这个反演在黎曼球面上对应于关于赤道平面的反射。