对于已经规范化的莫比乌斯变换的矩阵，其特征方程是什么
对于一个已经规范化的莫比乌斯变换矩阵，我们首先要明确它是一个 \(2 \times 2\) 矩阵，且其行列式为 1。假设矩阵 \(A\) 是这种规范化矩阵：
\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]
其中 \( \det(A) = ad - bc = 1 \)。
为了找到这个矩阵的特征方程，我们需要找到矩阵 \(A\) 的特征值。特征值 \( \lambda \) 满足特征方程：
\[ \det(A - \lambda I) = 0 \]
其中 \( I \) 是单位矩阵。对于 \(2 \times 2\) 矩阵 \(A\)，我们有：
\[ A - \lambda I = \begin{pmatrix} a - \lambda & b \\ c & d - \lambda \end{pmatrix} \]
其行列式为：
\[ \det(A - \lambda I) = (a - \lambda)(d - \lambda) - bc \]
代入 \( ad - bc = 1 \)：
\[ \det(A - \lambda I) = (a - \lambda)(d - \lambda) - bc = ad - a\lambda - d\lambda + \lambda^2 - bc = \lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - bc) \]
因为 \( ad - bc = 1 \)，所以特征方程化简为：
\[ \lambda^2 - (a + d)\lambda + 1 = 0 \]
这就是规范化莫比乌斯变换矩阵的特征方程。
特征方程的系数中，\( a + d \) 是矩阵 \(A\) 的迹（即对角线元素之和）。因此，特征方程可以简化为：
\[ \lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + 1 = 0 \]
其中 \( \text{tr}(A) = a + d \) 是矩阵 \(A\) 的迹。
求解特征方程
我们可以使用求根公式来求解特征方程：
\[ \lambda = \frac{\text{tr}(A) \pm \sqrt{(\text{tr}(A))^2 - 4}}{2} \]
这两个特征值可以告诉我们更多关于莫比乌斯变换的信息，特别是关于其固定点和动力学行为。
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