莫比乌斯变换的酉矩阵
如果一个矩阵的共轭转置等于其逆矩阵，如下 \( \left[ \begin{array}{c c} {{\frac{a}{b}}} & {{\bar{c}}} \\ {{\bar{b}}} & {{\bar{d}}} \end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c c} {{d}} & {{-b}} \\ {{-c}} & {{a}} \end{array}\right]\quad\Longrightarrow\quad\left[R\right]=\left[ \begin{array}{c c} {{a}} & {{b}} \\ {{-\bar{b}}} & {{\bar{a}}} \end{array}\right] \) 那么这个矩阵本身是什么 我们从给定条件开始，即一个矩阵的共轭转置等于其逆矩阵。假设矩阵 \( R \) 为 \[ R = \begin{pmatrix} a & b \\ -\bar{b} & \bar{a} \end{pmatrix} \] 为了验证这个假设，首先计算其共轭转置 \( R^* \) 和逆矩阵 \( R^{-1} \)。计算共轭转置 ( R^* )
矩阵 \( R \) 的共轭转置 \( R^* \) 是对 \( R \) 进行转置并取复共轭： \[ R^* = \begin{pmatrix} \bar{a} & -b \\ \bar{b} & a \end{pmatrix} \]计算逆矩阵 ( R^{-1} )
我们需要计算 \( R \) 的行列式： \[ \det(R) = a\bar{a} - b(-\bar{b}) = |a|^2 + |b|^2 \] 由于我们假设矩阵是规范化的，即行列式为 1，因此 \( |a|^2 + |b|^2 = 1 \)。 逆矩阵的公式为： \[ R^{-1} = \frac{1}{\det(R)} \begin{pmatrix} \bar{a} & -b \\ \bar{b} & a \end{pmatrix} \] 由于 \( \det(R) = 1 \)，我们有： \[ R^{-1} = \begin{pmatrix} \bar{a} & -b \\ \bar{b} & a \end{pmatrix} \]验证
我们看到，确实有 \( R^* = R^{-1} \)。这验证了我们的假设。 因此，满足条件的矩阵 \( R \) 是： \[ R = \begin{pmatrix} a & b \\ -\bar{b} & \bar{a} \end{pmatrix} \] 这里 \( a \) 和 \( b \) 是满足 \( |a|^2 + |b|^2 = 1 \) 的复数。结论
满足条件的矩阵 \( R \) 具有以下形式： \[ R = \begin{pmatrix} a & b \\ -\bar{b} & \bar{a} \end{pmatrix} \] 其中 \( a \) 和 \( b \) 是满足 \( |a|^2 + |b|^2 = 1 \) 的复数。矩阵 R 的伴随矩阵的定义及求法
伴随矩阵（adjugate matrix），也称为伴随矩阵或余子式矩阵的转置，是在线性代数中用于计算逆矩阵的一种工具。伴随矩阵是由原矩阵的余子式组成的转置矩阵。 假设我们有一个 \(2 \times 2\) 的矩阵 \(R\)： \[ R = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \]步骤1：计算余子式矩阵
余子式是通过去掉某个元素所在的行和列，并计算剩余元素的行列式得到的。 对于矩阵 \(R\)，它的余子式矩阵（minor matrix）为： \[ \text{Minor}(R) = \begin{pmatrix} \det\begin{pmatrix} d \end{pmatrix} & \det\begin{pmatrix} c \end{pmatrix} \\ \det\begin{pmatrix} b \end{pmatrix} & \det\begin{pmatrix} a \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d & c \\ b & a \end{pmatrix} \]步骤2：计算代数余子式矩阵
代数余子式（cofactor）矩阵是由余子式矩阵乘以适当的符号（即 \((-1)^{i+j}\)）得到的。 \[ \text{Cofactor}(R) = \begin{pmatrix} (-1)^{1+1}d & (-1)^{1+2}c \\ (-1)^{2+1}b & (-1)^{2+2}a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix} \]步骤3：计算伴随矩阵
伴随矩阵是代数余子式矩阵的转置： \[ \text{adj}(R) = \text{Cofactor}(R)^T = \begin{pmatrix} d & -c \\ -b & a \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \]