莫比乌斯变换对经过两个不动点的圆的映射
设 \( M(z) \) 是一个莫比乌斯变换，并且它有两个不同的不动点。假设经过这两个不动点的圆周为 \( C \)，我们来看一下 \( M(z) \) 如何将这个图形映为自身的。莫比乌斯变换的性质
一个莫比乌斯变换可以表示为： \[ M(z) = \frac{az + b}{cz + d} \] 其中 \( a, b, c, d \) 是复数，并且 \( ad - bc \neq 0 \)。不动点
不动点 \( z \) 满足： \[ M(z) = z \] 解方程： \[ \frac{az + b}{cz + d} = z \] 整理得到： \[ az + b = cz^2 + dz \] \[ cz^2 + (d-a)z - b = 0 \] 这是一个二次方程，它有两个根： \[ z_{1,2} = \frac{a-d \pm \sqrt{(a-d)^2 + 4bc}}{2c} \] 这两个根即为莫比乌斯变换的两个不动点。圆周 C 的不变性
经过不动点的圆周 \( C \) 具有特殊的对称性。我们将证明 \( M(z) \) 会将 \( C \) 映射到另一个圆周。-
不动点的对称性： 经过两个不动点的圆周 \( C \) 是莫比乌斯变换的一个不变集。因为 \( M(z) \) 保持不动点不变，且莫比乌斯变换保持圆（包括直线）不变。
-
圆周到圆周的映射： 莫比乌斯变换将圆映射到圆（或者直线）。因此，经过不动点的圆周 \( C \) 在莫比乌斯变换 \( M(z) \) 下仍然是一个圆周。
-
保持不动点： 由于 \( C \) 经过两个不动点，而 \( M(z) \) 保持不动点不变，所以 \( C \) 被映射到一个经过同样两个不动点的圆周上。
结论
因此，如果 \( M(z) \) 是一个具有两个不同不动点的莫比乌斯变换，并且 \( C \) 是一个经过这两个不动点的圆周，那么 \( M(z) \) 将 \( C \) 映射到另一个经过相同不动点的圆周。这说明莫比乌斯变换在这种情况下是一个自同构变换，将 \( C \) 映射到自身或经过同样不动点的另一个圆周。什么情况下M(z)将C映为一直线
要探讨一个莫比乌斯变换 \( M(z) = \frac{az + b}{cz + d} \) 在什么情况下会将一个圆 \( C \) 映射为一直线，我们需要理解莫比乌斯变换如何作用于复平面上的几何图形。一般来说，莫比乌斯变换会将圆映射为圆或者直线。为了确定具体情况，必须了解不动点、变换的结构以及圆 \( C \) 的性质。莫比乌斯变换的性质
莫比乌斯变换通常将圆映射为圆，或者在特殊情况下将圆映射为直线。直线可以看作圆的一个特例（无限半径的圆）。
不动点和圆
假设 \( C \) 是一个圆周，并且 \( C \) 经过莫比乌斯变换 \( M(z) \) 的两个不同不动点 \( z_1 \) 和 \( z_2 \)。这种情况下，莫比乌斯变换 \( M(z) \) 会将圆周 \( C \) 映射到另一个圆周。为了探讨何时 \( C \) 会被映射为直线，我们可以利用不动点和变换的性质。将圆映射为直线的情况
莫比乌斯变换 \( M(z) \) 将圆 \( C \) 映射为直线的情况通常发生在以下特定条件下：-
圆经过不动点：
- 如果 \( C \) 是一个经过不动点的圆，且另一个不动点是无穷远点，则变换可以将 \( C \) 映射为一条直线。
-
临界圆的情况：
- 当圆 \( C \) 经过不动点 \( z_1 \) 和 \( z_2 \) 时，且这两个不动点在复平面上相互对称，且 \( C \) 的半径满足特定条件，那么变换 \( M(z) \) 会将 \( C \) 映射为直线。