给定两个不动点 \(\xi_+\) 和 \(\xi_-\) 的莫比乌斯变换 \(M(z)\)，假设 \(p\) 是经过这两个不动点的直线上但位于连接不动点的线段之外的一点。若 \(K\) 是以 \(p\) 为中心，\(\sqrt{[p\xi_+][p\xi_-]}\) 为半径的圆周，则 \(\xi_+\) 和 \(\xi_-\) 关于 \(K\) 对称。这意味着 \(K\) 必定正交于 \(\mathcal{C}_1\) 中的每个圆周，以下是详细的解释为什么会正交。
反演对称和正交的概念
首先，我们需要理解反演（inversion）和正交（orthogonality）的概念：
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反演对称性：
- 反演是复平面上的一种几何变换，它将点 \(z\) 映射为点 \(z'\) 满足 \(z' = \frac{R^2}{\bar{z} - \bar{c}} + c\)，其中 \(c\) 是反演圆的圆心，\(R\) 是反演圆的半径。
- 如果两个点 \(A\) 和 \(B\) 关于某个圆 \(K\) 对称，这意味着 \(A\) 通过圆 \(K\) 的反演变换得到 \(B\)。
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圆的正交性：
- 在复平面几何中，如果两个圆相交并且在交点处的切线方向互相垂直，这两个圆称为正交圆。
- 数学上，若两个圆的方程分别为 \( |z - a| = r_1 \) 和 \( |z - b| = r_2 \)，则这两个圆正交的条件是：\(|a - b|^2 = r_1^2 + r_2^2\)。
证明圆 \(K\) 正交于 \(\mathcal{C}_1\) 中的每个圆
设定与符号：
- \(K\) 是以 \(p\) 为圆心，\(\sqrt{[p\xi_+][p\xi_-]}\) 为半径的圆。
- \(\mathcal{C}_1\) 是通过两个不动点 \(\xi_+\) 和 \(\xi_-\) 的圆族。
正交性的原因：
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不动点和反演中心的对称性：
- \(\xi_+\) 和 \(\xi_-\) 是 \(M(z)\) 的不动点，且关于圆 \(K\) 对称。根据反演的性质，这意味着 \(\xi_+\) 和 \(\xi_-\) 是通过圆 \(K\) 的反演得到的镜像点。
- 由于反演将圆映射为圆且保持对称性，这意味着以 \(p\) 为圆心的反演圆 \(K\) 会对称穿过这些不动点。
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几何对称性与正交性：
- 对于通过不动点 \(\xi_+\) 和 \(\xi_-\) 的任意圆 \(C\)，由于这些点是反演对称的，反演变换会将这些圆映射为新的圆，同时保持穿过不动点的性质。
- 因为这些圆都经过反演圆的对称点，反演圆 \(K\) 必定与这些圆 \(\mathcal{C}_1\) 正交。这是由于几何上，任何通过不动点 \(\xi_+\) 和 \(\xi_-\) 的圆与通过它们对称点的圆在交点处切线必定互相垂直。
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反演正交性条件：
- 数学上，反演圆 \(K\) 的半径 \(r_K\) 和任意通过不动点的圆 \(\mathcal{C}_1\) 的半径 \(r_1\) 满足：\(|\xi_+ - \xi_-| = r_K + r_1\)。因此，任意通过 \(\xi_+\) 和 \(\xi_-\) 的圆与反演圆 \(K\) 的切线在交点处正交。
结论
圆 \(K\) 正交于 \(\mathcal{C}_1\) 中的每个圆周的原因是由于不动点 \(\xi_+\) 和 \(\xi_-\) 关于 \(K\) 的对称性，以及几何反演的性质决定了这些圆在反演变换下保持穿过不动点的性质，并且它们在交点处的切线必定互相垂直。因此，反演圆 \(K\) 与 \(\mathcal{C}_1\) 中的每个圆正交。为什么两个不动点关于K对称
两个不动点 \(\xi_+\) 和 \(\xi_-\) 关于圆 \(K\) 对称是由于圆 \(K\) 的构造及其几何性质。让我们详细解释这个问题。圆 (K) 的构造及其性质
假设 \(M(z)\) 是一个有两个不动点 \(\xi_+\) 和 \(\xi_-\) 的莫比乌斯变换。我们选择一点 \(p\)，它位于通过这两个不动点的直线上，但位于连接这两个不动点的线段之外。以 \(p\) 为圆心，半径为 \(\sqrt{|p - \xi_+||p - \xi_-|}\) 画一个圆 \(K\)。我们要证明的是，不动点 \(\xi_+\) 和 \(\xi_-\) 关于圆 \(K\) 对称。几何对称性
在复平面中，两个点关于一个圆对称的定义是：如果一个点经过圆的反演变换得到另一个点，这两个点就关于这个圆对称。反演变换具有以下性质：
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反演映射公式：设圆 \(K\) 的圆心为 \(p\)，半径为 \(R\)，则反演变换 \(I_K\) 可以表示为 \[ I_K(z) = p + \frac{R^2}{\overline{z} - \overline{p}} \] 其中，\(\overline{z}\) 是 \(z\) 的共轭复数。
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对称点关系：如果点 \(A\) 和点 \(B\) 关于圆 \(K\) 对称，则 \[ |p - A| \cdot |p - B| = R^2 \] 即，点 \(A\) 和点 \(B\) 互为反演点。
应用到不动点
对于给定的莫比乌斯变换 \(M(z)\)，其不动点 \(\xi_+\) 和 \(\xi_-\) 满足 \(M(\xi_+) = \xi_+\) 和 \(M(\xi_-) = \xi_-\)。由于 \(p\) 选在这两个不动点的连线上，且不在它们之间，我们可以得到：-
**选定反演圆 \(K\)**：选择以 \(p\) 为圆心，半径为 \(\sqrt{|p - \xi_+||p - \xi_-|}\) 的圆 \(K\)。
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验证对称性：
- 根据反演的定义和性质，点 \(\xi_+\) 和 \(\xi_-\) 必定满足关于圆 \(K\) 的对称关系： \[ |p - \xi_+| \cdot |p - \xi_-| = R^2 = |p - \xi_+||p - \xi_-| \] 这表明 \(\xi_+\) 和 \(\xi_-\) 互为圆 \(K\) 的反演点。
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几何解释：
- 由于 \(\xi_+\) 和 \(\xi_-\) 是 \(M(z)\) 的不动点，而圆 \(K\) 是通过这两个不动点并满足上述对称条件的几何构造，它们必定关于圆 \(K\) 对称。
结论
通过上述推导，我们可以得出结论：莫比乌斯变换 \(M(z)\) 的两个不动点 \(\xi_+\) 和 \(\xi_-\) 关于以 \(p\) 为圆心、半径为 \(\sqrt{|p - \xi_+||p - \xi_-|}\) 的圆 \(K\) 对称。这是由于圆 \(K\) 的反演性质决定的，使得通过不动点构造的圆满足对称性条件。 因此，圆 \(K\) 的几何性质保证了不动点 \(\xi_+\) 和 \(\xi_-\) 关于圆 \(K\) 对称。\( \xi_+ \) 和 \( \xi_- \) 这两个点经过K的反演相互变为了对方，为什么这两个点会是M(z)的不动点
反演变换并不是莫比乌斯变换，反演变换本身将不动点变为其关于反演圆对称的点。莫比乌斯变换可以通过组合反演、旋转、平移等几何变换来表示，但单独的反演变换并不代表莫比乌斯变换。因此，需要将反演和莫比乌斯变换区分开来。
理解不动点和反演的关系
首先，我们来理清以下几个概念：
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莫比乌斯变换：它的一般形式是 \[ M(z) = \frac{az + b}{cz + d} \] 其中 \( a, b, c, d \) 是复数，并且 \( ad - bc \neq 0 \)。不动点 \( \xi \) 满足 \( M(\xi) = \xi \)。
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反演变换：对圆 \( K \) 进行反演变换的公式是 \[ w = \frac{R^2}{\overline{z} - \overline{O}} \] 其中 \( R \) 是圆 \( K \) 的半径，\( O \) 是圆心。
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不动点的性质：对于任意莫比乌斯变换，存在最多两个不动点，即使在反演变换下也会保持这种性质。
反演和不动点的关系
假设我们有莫比乌斯变换 \( M(z) \) 的两个不动点 \( \xi_+ \) 和 \( \xi_- \)，并且 \( C \) 是经过这两个不动点的圆。现在我们考察这些点在反演变换下的性质。为什么反演变换会使这两个点互为对称点：
- 设圆 \( K \) 的圆心是 \( O \)，半径是 \( R \)。
- 对于任意点 \( z \)，其反演点 \( w \) 满足 \[ |z - O| \cdot |w - O| = R^2. \]
为什么 \( \xi_+ \) 和 \( \xi_- \) 是莫比乌斯变换的不动点：
- 不动点 \( \xi_+ \) 和 \( \xi_- \) 满足莫比乌斯变换的固定点方程： \[ M(\xi) = \xi. \]
- 考虑反演变换和莫比乌斯变换的组合，可以设定一个特定的莫比乌斯变换 \( M(z) \) 使得不动点满足上述条件，即满足固定点方程。 \[ \frac{a\xi_+ + b}{c\xi_+ + d} = \xi_+, \] \[ \frac{a\xi_- + b}{c\xi_- + d} = \xi_-. \]