复反演的规范化矩阵
对于复反演变换 \( M(z) = \frac{1}{z} \)，我们需要找到其对应的矩阵表示并进行规范化。
复反演变换
复反演变换 \( M(z) = \frac{1}{z} \) 是一种特殊的莫比乌斯变换。一般的莫比乌斯变换可以写成如下形式：
\[ w = \frac{az + b}{cz + d} \]
对于 \( M(z) = \frac{1}{z} \)，可以看作：
\[ w = \frac{0 \cdot z + 1}{1 \cdot z + 0} \]
矩阵表示
这个变换的矩阵表示为：
\[ [M] = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \]
规范化矩阵
我们希望矩阵的行列式为1。首先计算行列式：
\[ \det(M) = \det \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = 0 \cdot 0 - 1 \cdot 1 = -1 \]
为了将其规范化，我们将矩阵的每个元素除以行列式的平方根的绝对值，使得新的矩阵行列式为1：
\[ \sqrt{\det(M)} = \sqrt{-1} = i \]
因为行列式为负，我们可以直接乘以 \( i \) 以确保矩阵的行列式为1：
\[ [M_{\text{norm}}] = \frac{1}{i} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = i \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} \]
矩阵的规范化总结
对于复反演变换 \( M(z) = \frac{1}{z} \)，其规范化矩阵为：
\[ [M_{\text{norm}}] = \begin{pmatrix} 0 & i \\ i & 0 \end{pmatrix} \]
这个规范化矩阵满足行列式为1的条件。
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