P153-3.47中伸缩因子的计算

要证明这一点，我们需要仔细分析两个反演变换的复合操作如何转换一个点的距离。让我们考虑以下步骤：

1. 定义反演变换：

   • 反演变换是通过 \( w = \frac{r^2}{\bar{z}} \) 实现的，其中 \( r \) 是反演圆的半径，\( \bar{z} \) 是 \( z \) 的共轭复数。
   • 设圆 \( A \) 的半径为 \( r_A \)，圆 \( B \) 的半径为 \( r_B \)。

2. 第一次反演：

   • 一个点 \( z \) 在圆 \( A \) 上的反演为 \( z_1 \)，其中 \( z_1 = \frac{r_A^2}{\bar{z}} \)。

3. 第二次反演：

   • 点 \( z_1 \) 在圆 \( B \) 上的反演为 \( z_2 \)，其中 \( z_2 = \frac{r_B^2}{\bar{z_1}} \)。
   • 代入 \( z_1 \) 的表达式：\( z_2 = \frac{r_B^2}{\bar{z_1}} = \frac{r_B^2}{\overline{\left(\frac{r_A^2}{\bar{z}}\right)}} = \frac{r_B^2}{\frac{r_A^2}{z}} = z \cdot \frac{r_B^2}{r_A^2} \)。

4. 伸缩变换：

   • \( z_2 \) 可以表示为 \( z \) 的伸缩变换，即 \( z_2 = z \cdot \frac{r_B^2}{r_A^2} \)。
   • 因此，复合变换（经过 \( A \) 反演后再经 \( B \) 反演）是 \( z \) 的一个伸缩，伸缩率为 \( \frac{r_B^2}{r_A^2} \)。

5. 设伸缩率为 \( \rho \) ：

   • 为了得到伸缩率为 \( \rho \)，需要 \( \frac{r_B^2}{r_A^2} = \rho \)。
   • 即 \( \frac{r_B}{r_A} = \sqrt{\rho} \)。