\(e^x\)
的唯一的解析延拓的不同方式
\[ \lim_{n\to\infty}\left(1+{\frac{z}{n}}\right)^{n}\,,\ \ \ \ e^{x}\,(\cos
y+i\sin y)\,,\ \ \ \ 1+z+z^{2}/2!+z^{3}/3!+\cdots\,. \]
为什么当z为实数x时，全都等于 \( e^x \)
这是因为在这些表达式中，无论采用哪种形式，它们在特定条件下都能转换为指数函数 \(e^x\)。让我们逐一解析每个表达式，并证明在 \( z \) 为实数 \( x \) 时，它们都等于 \( e^x \)。
表达式 1: \(\lim_{n\to\infty}\left(1+{\frac{z}{n}}\right)^{n}\)
这是指数函数的定义之一，可以通过如下推导得到：
\[ \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{z}{n}\right)^n = e^z \]
当 \( z = x \)（\( x \) 为实数）时，这个极限表达式就是 \( e^x \) 的定义。
表达式 2: \(e^{x}(\cos y + i \sin y)\)
根据欧拉公式，我们有：
\[ e^{z} = e^{x + iy} = e^{x}(\cos y + i \sin y) \]
当 \( z = x \)（即 \( y = 0 \)）时，\(\cos 0 = 1\) 且 \(\sin 0 = 0\)，因此：
\[ e^{x}(\cos 0 + i \sin 0) = e^{x}(1 + i \cdot 0) = e^{x} \]
表达式 3: \(1 + z + \frac{z^2}{2!} + \frac{z^3}{3!} + \cdots\)
这是指数函数的幂级数展开，可以表示为：
\[ e^z = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!} \]
当 \( z = x \)（\( x \) 为实数）时，这个幂级数展开就是 \( e^x \) 的定义：
\[ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \]
总结
无论是通过极限形式、欧拉公式，还是通过幂级数展开，当 \( z \) 是实数 \( x \) 时，这些表达式都等价于 \( e^x \)。这是因为它们本质上都是指数函数的不同表示方式，因此在 \( z = x \) 的情况下，都会得到 \( e^x \)。
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