为了避免混淆，我们将参数化的曲线 \(\gamma\) 在 \(z\)-平面上的对应曲线用另一个变量表示。设 \(\Gamma\) 是 \(w\)-平面上的曲线，对应于 \(\gamma\) 在 \(z\)-平面上的曲线。 设 \( f(z) \) 是一个解析函数， \(\gamma\) 是一条围绕着区域 \( D \) 的光滑闭曲线。如果存在一个连续可微的映射 \( z = g(w) \)，其中 \( g'(w) \neq 0 \)，那么有： \[ \int_{\gamma} f(z) \, dz = \int_{\Gamma} f(g(w)) g'(w) \, dw Read more

定理陈述 如果 \( f \) 是定义在开集 \( U \subset \mathbb{C} \) 上的全纯函数，且存在一个点 \( z_0 \in U \) 及其包含在 \( U \) 内的任意小邻域 \( V \)，使得 \( f \) 在 \( V \) 上恒为零，那么 \( f \) 在 \( U \) 上恒为零。 证明过程 设定条件： 设 \( f \) 是定义在开集 \( U \) 上的全纯函数。 存在点 \( z_0 \in U \)，并且 \( f \) 在包含 \( z_0 \) 的任意小邻域 \( V \) 上恒为零。 Read more

是的，如果一个全纯函数在一个小圆盘上（即在某个开集上）的模是常数，那么通过柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）方程可以推出这个全纯函数在这个小圆盘上是常数。 详细证明 假设 \( f(z) \) 是在开集 \( U \subset \mathbb{C} \) 上的全纯函数，并且在某个小圆盘 \( D(z_0, r) \subset U \) 上 \( |f(z)| = c \)，其中 \( c \) 是一个常数。我们需要证明 \( f(z) \) 在 \( Read more

展开因子 \(\left(1+\frac{z-z_{0}}{{\zeta}-z_{0}}+\cdots\right)^{k+1}\) 给定等式： \[ \frac{k!}{2\pi \mathrm{i}} \int_{\partial U} \frac{f\left({\zeta}\right)}{\left(\zeta-z_{0}\right)^{k+1}}\left(1+\frac{z-z_{0}}{{\zeta}-z_{0}}+\cdots\right)^{k+1} \mathrm{d}\zeta \] 我们要将其展开成： \[ f^{(k)}\left(z_0\right) + \frac{\left(k\,+1\right)!}{2\pi \mathrm{i}} \int_{\partial U} \frac{f(\zeta)\left(z-z_{0}\right)}{\left( {\zeta}-z_{0}\right)^{k+2}} \mathrm{d}\zeta + O(|z-z_0|^2) \] ### 1. 因子的展开 首先，我们对因子 \(\left(1+\frac{z-z_{0}}{{\zeta}-z_{0}}+\cdots\right)^{k+1}\) 进行展开。这个因子可以被视为一个二项式展开： \[ \left(1+\frac{z-z_{0}}{{\zeta}-z_{0}}\right)^{k+1} = 1 + (k+1) \frac{z-z_{0}}{{\zeta}-z_{0}} + \frac{(k+1)k}{2} \left(\frac{z-z_{0}}{{\zeta}-z_{0}}\right)^2 + \cdots \] ### 2. 代入积分 将这个展开代入积分中： \[ \frac{k!}{2\pi \mathrm{i}} \int_{\partial U} \frac{f(\zeta)}{(\zeta - z_0)^{k+1}} \left(1 + (k+1) \frac{z - z_0}{{\zeta} - z_0} + \frac{(k+1)k}{2} \left(\frac{z - z_0}{{\zeta} - z_0}\right)^2 + \cdots\right) \, d\zeta \] ### 3. 拆分积分 我们将积分拆分成 Read more

w(z)的导数 Lambert W 函数 \( W(z) \) 是方程 \( z = W(z)e^{W(z)} \) 的解。给定函数 \( f(w) = we^w \)，在 \( w = 0 \) 处的导数 \( f'(0) \) 为 1，这说明 \( f \) 在 \( w = 0 \) 附近是局部可逆的。这个逆函数就是我们要找到的 Lambert W 函数 \( W(z) \)。 为了进一步分析并验证 \( W(z) \) 在 \( z = 0 \) 处的性质，我们需要找到 \( f(w) = we^w \) 在 \( w = 0 \) 处的导数，并且确定其逆函数 \( Read more

在复分析中，复变量 \( z \) 和其共轭 \( \overline{z} \) 以及它们的微分 \( dz \) 和 \( d\overline{z} \) 是重要的概念。我们可以将这些微分形式写成更具体的二形式来理解它们的性质和应用。 微分形式 \( dz \) 和 \( d\overline{z} \) 假设 \( z = x + iy \)，其中 \( x \) 和 \( y \) 是实变量，\( i \) 是虚数单位。那么： \[ dz = dx + i dy \] \[ d\overline{z} = dx - i dy \] 二形式的表示 为了找到 \( dz \) Read more

将 u(z) 转为极坐标形式 \[ u(z) = -\frac{1}{2\pi i} \iint_C \frac{\psi(\zeta)}{\zeta - z} \, d\overline{\zeta} \wedge d\zeta \] 将 \(\zeta\) 转换为极坐标形式 \(\zeta = z + re^{i\theta}\)，我们有： \[ d\zeta = e^{i\theta} \, dr + ire^{i\theta} \, d\theta \] \[ d\overline{\zeta} = e^{-i\theta} \, dr + ire^{-i\theta} \, d\theta \] 接下来我们需要计算面积元素 \(d\overline{\zeta} \wedge d\zeta\)： \[ d\overline{\zeta} \wedge d\zeta = (e^{-i\theta} \, dr + ire^{-i\theta} \, d\theta) \wedge (e^{i\theta} \, dr + ire^{i\theta} \, d\theta) \] 展开楔积： \[ d\overline{\zeta} \wedge d\zeta = e^{-i\theta} e^{i\theta} \, dr \wedge dr + ire^{-i\theta} e^{i\theta} \, d\theta \wedge dr + ire^{-i\theta} e^{i\theta} \, Read more

要将复函数 \( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) \) 沿曲线 \(\gamma\) 积分并参数化，我们可以按照以下步骤进行推导： 1. **参数化曲线 \(\gamma\)**：设曲线 \(\gamma\) 用参数 \( t \) 来表示，其中 \( t \) 在区间 \([a, b]\) 内变化。 \[ z(t) = \gamma(t) = x(t) + iy(t) \] 2. **复积分定义**：复函数 \( f(z) \) 沿曲线 \(\gamma\) 的积分定义为： \[ \int_\gamma f(z) \, dz = \int_\gamma (u(x,y) + iv(x,y)) \, dz \] 3. **计算微分 \( dz \)** Read more

对 f(z) 分离实部虚部后的积分 当我们把复函数 \( f(z) = u(x,y) + iv(x,y) \) 分离成实部 \( u(x,y) \) 和虚部 \( v(x,y) \) 之后，对曲线 \(\gamma\) 进行积分时，可以将复积分分离为两个实积分的组合。 设 \(\gamma\) 是复平面上的一条曲线，由参数化形式 \( z(t) = x(t) + iy(t) \) 表示，参数 \( t \) 在区间 \([a, b]\) 上变化。复函数 \( f(z) \) 沿曲线 \(\gamma\) 的积分为： \[ \int_\gamma f(z) \, dz = \int_\gamma (u(x,y) + iv(x,y)) \, dz \] 我们可以将这个复 Read more

要计算函数 \( g(z) = \frac{1}{z^n} \) 沿圆周 \( \gamma \) 的积分 圆周积分的计算 设圆周 \(\gamma\) 是一个以原点为中心、半径为 \( R \) 的圆，即 \( \gamma: z = Re^{i\theta} \) 其中 \(\theta\) 从 0 到 \(2\pi\) 变化。我们需要计算沿这个圆周的积分： \[ \int_\gamma \frac{1}{z^n} \, dz \] 参数化圆周： 参数化圆周 \( \gamma \) 为： \[ z = Re^{i\theta} \quad \text{和} \quad dz = iRe^{i\theta} \, d\theta \] 将参数化代入积分： \[ \int_\gamma \frac{1}{z^n} \, dz = \int_0^{2\pi} \frac{1}{(Re^{i\theta})^n} \cdot iRe^{i\theta} \, d\theta \] 简化积分： Read more