莫比乌斯变换对经过两个不动点的圆的映射 设 \( M(z) \) 是一个莫比乌斯变换，并且它有两个不同的不动点。假设经过这两个不动点的圆周为 \( C \)，我们来看一下 \( M(z) \) 如何将这个图形映为自身的。 莫比乌斯变换的性质 一个莫比乌斯变换可以表示为： \[ M(z) = \frac{az + b}{cz + d} \] 其中 \( a, b, c, d \) 是复数，并且 \( ad - bc \neq 0 \)。 不动点 不动点 \( z Read more

给定两个不动点 \(\xi_+\) 和 \(\xi_-\) 的莫比乌斯变换 \(M(z)\)，假设 \(p\) 是经过这两个不动点的直线上但位于连接不动点的线段之外的一点。若 \(K\) 是以 \(p\) 为中心，\(\sqrt{[p\xi_+][p\xi_-]}\) 为半径的圆周，则 \(\xi_+\) 和 \(\xi_-\) 关于 \(K\) 对称。这意味着 \(K\) 必定正交于 \(\mathcal{C}_1\) 中的每个圆周，以下是详细的解释为什么会正交。 反演对称和 Read more

莫比乌斯变换的酉矩阵 如果一个矩阵的共轭转置等于其逆矩阵，如下 \( \left[ \begin{array}{c c} {{\frac{a}{b}}} & {{\bar{c}}} \\ {{\bar{b}}} & {{\bar{d}}} \end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c c} {{d}} & {{-b}} \\ {{-c}} & {{a}} \end{array}\right]\quad\Longrightarrow\quad\left[R\right]=\left[ \begin{array}{c c} {{a}} & {{b}} \\ {{-\bar{b}}} & {{\bar{a}}} \end{array}\right] \) 那么这个矩阵本身是什么 我们从给定条件开始，即一个矩阵的共轭转置等于其逆矩阵。假设矩阵 \( R \) 为 \[ R = \begin{pmatrix} a & b \\ -\bar{b} & \bar{a} \end{pmatrix} \] 为了验证这个假设，首先计算其共轭转置 \( R^* \) 和逆矩阵 \( R^{-1} \ Read more

对于已经规范化的莫比乌斯变换的矩阵，其特征方程是什么 对于一个已经规范化的莫比乌斯变换矩阵，我们首先要明确它是一个 \(2 \times 2\) 矩阵，且其行列式为 1。假设矩阵 \(A\) 是这种规范化矩阵： \[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \] 其中 \( \det(A) = ad - bc = 1 \)。 为了找到这个矩阵的特征方程，我们需要找到矩阵 \(A\) 的特征值。特征值 \( \lambda \) 满足特征方程 Read more

求一个莫比乌斯变换的逆变换 求一个莫比乌斯变换的逆变换可以通过它的一般形式来实现。假设莫比乌斯变换的形式为： \[ f(z) = \frac{az + b}{cz + d} \] 其中 \(a\), \(b\), \(c\), 和 \(d\) 是复数，且 \(ad - bc \neq 0\)。 要求这个变换的逆变换，我们可以按照以下步骤进行： 假设 \(w = f(z) = \frac{az + b}{cz + d}\)，我们需要求出 \(z\) 关于 \(w\) 的表达式。 进行代数操作，求解 \(z\) Read more

若直线L不经过K的中心q , 则它对 K 的反演把 L 映为一个经过 q 的圆周. 并且不依赖于 K 定义和给定的信息 关于圆 K 的反演： 设 \(K\) 是一个以 \(q\) 为圆心、半径为 \(R\) 的圆。 点 \(z\) 关于圆 \(K\) 的反演记为 \(\mathcal{I}_K(z)\)，其公式为： \[ \mathcal{I}_K(z) = q + \frac{R^2}{|z - q|^2} (z - q) \] 给定的符号和点： 设 z 是任意点。 \(\tilde{z}_1 = \mathcal{I Read more

在复平面上关于单位圆的反演和黎曼球面上关于赤道平面的反射之间存在深刻的联系。这种联系可以通过复分析中的**立体投影（stereographic projection）**来理解。让我们详细探讨一下这个问题。 立体投影 立体投影是一种将复平面和黎曼球面相互映射的方法。黎曼球面是一个球面，通常设定为单位球，球 Read more

\( f(z) = \frac{1}{1 - z} \) 在极坐标表示下 \( z = r e^{i \theta} \) 的形式 要证明 \( f(z) = \frac{1}{1 - z} \) 在极坐标表示下 \( z = r e^{i \theta} \) 的形式，可以先将 \( z \) 代入 \( f(z) \)，然后将结果表示为实部和虚部的形式。 1. 将 \( z = r e^{i \theta} \) 代入 \( f(z) = \frac{1}{1 - z} \) 首先，记住 \( z = r e^{i \theta} = r (\cos \theta + i \sin \theta) \)。代入到 \( f(z) \) 中： \[ f(z) = \frac{1}{1 - z} = \frac{1}{1 - r (\cos \theta + i \sin \theta)} \] 2. 化 Read more