复向量空间的实化（realification of a complex vector space）是将一个复向量空间转换成一个实向量空间的过程。在实化过程中，复向量空间的向量和复数标量被拆分为实部和虚部，从而在实向量空间中表示。具体来说，如果我们有一个复向量空间 V ，其实化可以通过以下步骤实现： 形式定义： 如果 \( V \) 是一个复向量空间，那 Read more

我们用符号来表示矩阵 \( A \)、矩阵 \( B \) 和向量 \( \mathbf{x} \)，然后用这些符号计算 \( BAx \) 的过程。 定义符号 矩阵 \( A \) 表示为： \[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} \] 矩阵 \( B \) 表示为： \[ B = \begin{pmatrix} b_{11} & b_{12} & b_{13} \\ b_{21} & b_{22} & b_{23} \\ b_{31} & b_{32} & b_{33} \end{pmatrix} \] 向量 \( \mathbf{x} \) 表示为： \[ \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \] ### 计算 \( A \mathbf{x} \) 我们首先计算矩阵 \( A \) Read more

4.8 多项式的带余除法 `$T: \mathcal P_{n-m}(F) \times \mathcal P_{m-1}(F)$`

多项式乘以 `$x^2$` 为线性映射 定义如下线性映射: `$T \in L( P( R ), P( R ) ) $` 对于所有 `$x \in R$` , `$(Tp)(x) = x^2p(x)$` 此映射为一线性映射，证明过程如下 先来证明加性(additivity) 设 \begin{align*} u = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n \end{align*} \begin{align*} v = b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + \cdots + b_n x^n \end{align*} 然后 \begin{align*} T(u + v) &= x^2 (u + v) \\ &= x^2 \Big((a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + \cdots + (a_n + b_n)x^2\Big) \\ &= (a_0 + b_0) x^2 + (a_1 + b_1) x^3 + \cdots Read more