4.8 多项式的带余除法 $T: \mathcal P_{n-m}(F) \times \mathcal P_{m-1}(F)$

多项式乘以 $x^2$ 为线性映射 定义如下线性映射: $T \in L( P( R ), P( R ) ) $ 对于所有 $x \in R$ , $(Tp)(x) = x^2p(x)$ 此映射为一线性映射，证明过程如下 先来证明加性(additivity) 设 \begin{align*} u = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n \end{align*} \begin{align*} v = b_0 + b_1 x + b_2 x^2 + \cdots + b_n x^n \end{align*} 然后 \begin{align*} T(u + v) &= x^2 (u + v) \\ &= x^2 \Big((a_0 + b_0) + (a_1 + b_1) x + \cdots + (a_n + b_n)x^2\Big) \\ &= (a_0 + b_0) x^2 + (a_1 + b_1) x^3 + \cdots Read more